我钟爱的数据结构大复习

https://visualgo.net/
https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/Algorithms.html
闲着无聊可以来个自测
https://pta.patest.cn/pta/test
1.好久不用C语言补充一下基础语法

    #include<stdio.h>      #include<math.h>      int main()      {          int n,m,i,j,t;          char sign;          scanf("%d %c",&n,&sign);          n-=1;          m=1;/*开始必有一行是一个点的*/          while(n-2*(m+2)>=0)          {              m+=2;              n-=2*m;          }          t=m/2;          for(i=0;i<m;i++)          {              for(j=0;j<t-abs(i-t);j++)                  printf(" ");              for(j=0;j<abs(i-t)*2+1;j++)                  printf("%c",sign);              printf("\n");          }          printf("%d\n",n);          return 0;      }  

2.1 线性表的顺序表示和实现

Common.h

    #define TRUE        1      #define FALSE       0      #define OK          1      #define ERROR       0      #define INFEASIBLE  -1      #define OVERFLOW    -2      typedef int Status;  

SqList.h

//------线性表的动态分配顺序存储结构--------  #include <stdlib.h>  #include "Common.h"  #define ElemType int  #define LIST_INIT_SIZE  100 //线性表存储空间的初始分配量  #define LISTINCREMENT   10  //线性表存储空间的分配增量  typedef struct{      ElemType* elem; //存储空间基址      int length;         //当前长度      int listsize;       //当前分配的存储容量（以sizeof(ElemType)为单位）  } SqList;  //基本操作  Status InitList(SqList &L);      //操作结果：构造一个空的线性表L。  Status DestroyList(SqList &L);      //初始条件：线性表L已存在。      //操作结果：销毁线性表L。  Status ClearList(SqList &L);      //初始条件：线性表L已存在。      //操作结果：将L重置为空表。  bool ListEmpty(SqList L);      //初始条件：线性表L已存在。      //操作结果：若L为空表，则返回TRUE，否则返回FALSE。  int ListLength(SqList L);      //初始条件：线性表L已存在。      //操作结果：返回L中数据元素的个数。  Status GetElem(SqList L, int i, ElemType &e);      //初始条件：线性表L已存在，1<=i<=ListLength(L)。      //操作结果：用e返回L中第i个数据元素的值。  int LocateElem(SqList L, int e, bool (*equal)(ElemType, ElemType));      //初始条件：线性表L已存在，compare()是数据元素判定函数。      //返回L中第一个与e满足关系compare()的数据元素的位序。若这样的数据元素不存在，则返回值为0.  Status PriorElem(SqList L, ElemType cur_e, ElemType &pre_e);      //初始条件：线性表L已存在。      //操作结果：若cur_e是L中的数据元素，且不是第一个，则用pre_e返回它的前驱，否则操作失败，pre_e无定义。  Status NextElem(SqList L, ElemType cur_e, ElemType &next_e);      //初始条件：线性表L已存在。      //操作结果：若cur_e是L中的数据元素，且不是最后一个，则用next_e返回它的后继，否则操作失败，next_e无定义。  Status ListInsert(SqList &L, int i, ElemType e);      //初始条件：线性表L已存在，1<=i<=ListLength(L)+1.      //操作结果：在L中第i个位置之前插入新的数据元素e，L的长度加1.  Status ListDelete(SqList &L, int i, ElemType &e);      //初始条件：线性表L已存在且非空，1<=i<=ListLength(L).      //操作结果：删除L的第i个数据元素，并用e返回其值，L的长度减1.  Status ListTraverse(SqList L, bool (*visit)(ElemType));      //初始条件：线性表L已存在      //操作结果：依次对L的每个元素调用函数visit().一旦visit()失败,则操作失败。  

SqList.cpp

    #include <malloc.h>      #include "SqList.h"      Status InitList(SqList &L){          //操作结果：构造一个空的线性表L。          L.elem = (ElemType *)malloc(LIST_INIT_SIZE * sizeof(ElemType));          if(!L.elem) exit(OVERFLOW); //存储分配失败          L.length = 0;          L.listsize = LIST_INIT_SIZE;          return OK;      }//InitList      Status DestroyList(SqList &L){          //操作结果：销毁线性表L。         // free(&L);           free(L.elem)         return OK;      }      Status ClearList(SqList &L) {          //操作结果：将L重置为空表。          L.length = 0;          return OK;      }      bool ListEmpty(SqList L){          //操作结果：若L为空表，则返回TRUE，否则返回FALSE。          if(0 == L.length)              return true;          else return false;      }      int ListLength(SqList L){          //操作结果：返回L中数据元素的个数。          return L.length;      }      Status GetElem(SqList L, int i, ElemType &e){          //1<=i<=ListLength(L)。          //操作结果：用e返回L中第i个数据元素的值。          if(i < 1  ||  i>=L.length) return ERROR;          e = L.elem[i-1];          return OK;      }      int LocateElem(SqList L, ElemType e, bool (*equal)(ElemType, ElemType)){          //compare()是数据元素判定函数。          //返回L中第一个与e满足关系compare()的数据元素的位序。若这样的数据元素不存在，则返回值为0.          int i = 1;          ElemType* p = L.elem;          while(i <= L.length  &&  !(*equal)(*p++, e)) ++i;          if(i <= L.length) return i;          else return 0;      }      Status PriorElem(SqList L, ElemType cur_e, ElemType &pre_e){          //操作结果：若cur_e是L中的数据元素，且不是第一个，则用pre_e返回它的前驱，否则操作失败，pre_e无定义。              int i=1;              while(i <= L.length  && !(cur_e==L.elem[i-1])) ++i;              if(i<2 || i>L.length)                  return ERROR;              pre_e = L.elem[i-2];              return OK;      }      Status NextElem(SqList L, ElemType cur_e, ElemType &next_e){          //操作结果：若cur_e是L中的数据元素，且不是最后一个，则用next_e返回它的后继，否则操作失败，next_e无定义。              int i=1;              while(i <= L.length  && !(cur_e==L.elem[i-1])) ++i;              if(i<2 || i>L.length)                  return ERROR;              next_e = L.elem[i];              return OK;      }      Status ListInsert(SqList &L, int i, ElemType e){          //1<=i<=ListLength(L)+1.          //操作结果：在L中第i个位置之前插入新的数据元素e，L的长度加1.          if(i < 1 || i>L.length+1) return ERROR;   //i值不合法          if(L.length >= L.listsize) {              ElemType * newbase = (ElemType *)realloc(L.elem, (L.listsize+LISTINCREMENT)*sizeof(ElemType));              if(!newbase) exit(OVERFLOW);              L.elem = newbase;              L.listsize += LISTINCREMENT;          }          ElemType * q = &(L.elem[i-1]);  //q为插入位置          ElemType * p;          for(p=&(L.elem[L.length-1]);p>=q;--p)              *(p+1) = *p;    //右移          *q = e;          ++L.length;          return OK;      }//ListInsert      Status ListDelete(SqList &L, int i, ElemType &e){          //1<=i<=ListLength(L).          //操作结果：删除L的第i个数据元素，并用e返回其值，L的长度减1.          if(i<1 || i>L.length) return ERROR;          ElemType* p = &(L.elem[i-1]);          e = *p;          ElemType* q = L.elem + L.length - 1;          for(++p;p<=q;++p) *(p-1) = *p;          --L.length;          return OK;      }      Status ListTraverse(SqList L, bool (*visit)(ElemType)){          //操作结果：依次对L的每个元素调用函数visit().一旦visit()失败,则操作失败。          int i=1;          ElemType* p = L.elem;          while(i <= L.length  &&  (*visit)(*p++)) ++i;           return OK;      }  

main.cpp

    #include <stdio.h>      #include "SqList.h"      bool equal(int a, int b){          if(a == b)              return true;          return false;      }      bool visit(ElemType e){          printf(" %d", e);          return true;      }      int main()      {          SqList L;          ElemType e;          ElemType pre_e;          ElemType next_e;          InitList(L);          if(ListEmpty(L))              printf("kong\n");          for(int i=0;i<30;i++){              e = i+1;              ListInsert(L, i+1, e);          }          e = 15;          printf("15所在的位置为： %d\n", LocateElem(L, 15, equal));          PriorElem(L, e, pre_e);          NextElem(L, e, next_e);          printf("e的前驱为：%d\n", pre_e);          printf("e的后驱为：%d\n", next_e);          GetElem(L, 22, e);          printf("第22个数为：%d\n", e);          printf("遍历：");          ListTraverse(L, visit);          printf("\n");          printf("List length is：%d\n", ListLength(L));          ClearList(L);          printf("清空\n");          printf("List length is：%d\n", ListLength(L));          if(ListEmpty(L))              printf("kong\n");          ListInsert(L, 1, 3);          ListInsert(L, 2, 7);          ListInsert(L, 3, 9);          ListInsert(L, 4, 1);          ListInsert(L, 5, 44);          printf("List length is：%d\n", ListLength(L));          printf("遍历：");          ListTraverse(L, visit);          printf("\n");          ListDelete(L, 3, e);          printf("所删除的值为: %d\n", e);          printf("遍历：");          ListTraverse(L, visit);          printf("\n");          printf("xiaohui:\n");          DestroyList(L);          system("pause");          return 0;      }  

2.2 堆栈
定义：堆栈是一个在计算机科学中经常使用的抽象数据类型。堆栈中的物体具有一个特性： 最后一个放入堆栈中的物体总是被最先拿出来， 这个特性通常称为后进先出(LIFO)队列。 堆栈中定义了一些操作。 两个最重要的是PUSH和POP。 PUSH操作在堆栈的顶部加入一 个元素。POP操作相反， 在堆栈顶部移去一个元素， 并将堆栈的大小减一。



详细理论知识百度百科“堆栈”

2.3 队列
队列是一种特殊的线性表，特殊之处在于它只允许在表的前端（front）进行删除操作，而在表的后端（rear）进行插入操作，和栈一样，队列是一种操作受限制的线性表。进行插入操作的端称为队尾，进行删除操作的端称为队头。队列中没有元素时，称为空队列。
队列的数据元素又称为队列元素。在队列中插入一个队列元素称为入队，从队列中删除一个队列元素成为出队。因为队列只允许在一段插入，在另一端删除，所以只有最早进入队列的元素才能最先从队列中删除，故队列又称为先进先出（FIFO—first in first out）线性表。[1]

（1）初始化队列：Init_Queue(q) ，初始条件：队q 不存在。操作结果：构造了一个空队；（2）入队操作： In_Queue(q,x),初始条件： 队q 存在。操作结果： 对已存在的队列q，插入一个元素x 到队尾，队发生变化；（3）出队操作： Out_Queue(q,x)，初始条件: 队q 存在且非空，操作结果： 删除队首元素，并返回其值，队发生变化；（4）读队头元素：Front_Queue(q,x)，初始条件: 队q 存在且非空，操作结果： 读队头元素，并返回其值，队不变；（5）判队空操作：Empty_Queue(q)，初始条件： 队q 存在，操作结果： 若q 为空队则返回为1，否则返回为0。在STL中，对队列的使用很是较完美下面给出循环队列的运算算法:(1)将循环队列置为空//将队列初始化SeQueue::SeQueue(){ front=0;rear=0;cout<<"init!"<<endl;}(2)判断循环队列是否为空int SeQueue::Empty(){ if(rear==front) return(1);else return(0);}(3)在循环队列中插入新的元素xvoid SeQueue::AddQ(ElemType x){ if((rear+1) % MAXSIZE==front) cout<<" QUEUE IS FULL! "<<endl;else{ rear=(rear+1) % MAXSIZE;elem[rear]=x;cout<<" OK!";}}(4)删除队列中队首元素ElemType SeQueue::DelQ(){ if(front==rear){ cout<<" QUEUE IS EMPTY! "<<endl; return -1;}else{ front=(front+1) % MAXSIZE;return(elem[front]);}}(5)取队列中的队首元素ElemType SeQueue::Front(){ ElemType x;if(front== rear)cout<<"QUEUE IS EMPTY "<<endl;else x= elem[(front+1)%MAXSIZE];return (x);}

详细理论知识和方法同 百度百科“队列”
http://www.cnblogs.com/kaituorensheng/archive/2013/02/28/2937865.html同参考
3.1 树与树的表示
父节点表示法
存储结勾

/* 树节点的定义 */#define MAX_TREE_SIZE 100typedef struct{    TElemType data;    int parent; /* 父节点位置域 */} PTNode;typedef struct{    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];    int n; /* 节点数 */} PTree;

基本操作
设已有链队列类型LinkQueue的定义及基本操作（参见队列）。
构造空树
清空或销毁一个树也是同样的操作

void ClearTree(PTree *T){    T->n = 0;}

构造树

void CreateTree(PTree *T){    LinkQueue q;    QElemType p,qq;    int i=1,j,l;    char c[MAX_TREE_SIZE]; /* 临时存放孩子节点数组 */     InitQueue(&q); /* 初始化队列 */    printf("请输入根节点(字符型，空格为空): ");    scanf("%c%*c",&T->nodes[0].data); /* 根节点序号为0，%*c吃掉回车符 */    if(T->nodes[0].data!=Nil) /* 非空树 */  {        T->nodes[0].parent=-1; /* 根节点无父节点 */        qq.name=T->nodes[0].data;         qq.num=0;        EnQueue(&q,qq); /* 入队此节点 */        while(i<MAX_TREE_SIZE&&!QueueEmpty(q)) /* 数组未满且队不空 */    {            DeQueue(&q,&qq); /* 节点加入队列 */            printf("请按长幼顺序输入节点%c的所有孩子: ",qq.name);            gets(c);            l=strlen(c);            for(j=0;j<l;j++){                T->nodes[i].data=c[j];                T->nodes[i].parent=qq.num;                p.name=c[j];                 p.num=i;                EnQueue(&q,p); /* 入队此节点 */                i++;              }          }          if(i>MAX_TREE_SIZE){              printf("节点数超过数组容量\n");              exit(OVERFLOW);          }          T->n=i;      }      else          T->n=0; }

判断树是否为空

Status TreeEmpty(PTree *T){    /* 初始条件：树T存在。操作结果：若T为空树，则返回TRUE，否则返回FALSE */      return T->n==0;}

获取树的深度

int TreeDepth(PTree *T){    /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的深度 */    int k,m,def,max=0;    for(k=0;k<T->n;++k){        def=1; /* 初始化本节点的深度 */        m=T->nodes[k].parent;        while(m!=-1){            m=T->nodes[m].parent;            def++;        }        if(max<def)            max=def;    }    return max; /* 最大深度 */}

获取根节点

TElemType Root(PTree *T){    /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的根 */    int i;    for(i=0;i<T->n;i++)      if(T->nodes[i].parent<0)        return T->nodes[i].data;    return Nil;}

获取第i个节点的值

TElemType Value(PTree *T,int i){    /* 初始条件：树T存在，i是树T中节点的序号。操作结果：返回第i个节点的值 */    if(i<T->n)        return T->nodes[i].data;    else        return Nil;}

改变节点的值

Status Assign(PTree *T,TElemType cur_e,TElemType value){ /* 初始条件：树T存在，cur_e是树T中节点的值。操作结果：改cur_e为value */       int j;      for(j=0;j<T->n;j++)       {          if(T->nodes[j].data==cur_e)           T->nodes[j].data=value;          }    return ERROR; }

获取节点的父节点

TElemType Parent(PTree *T,TElemType cur_e){ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */  /* 操作结果：若cur_e是T的非根节点，则返回它的父节点，否则函数值为"空"*/       int j;      for(j=1;j<T->n;j++) /* 根节点序号为0 */              if(T->nodes[j].data==cur_e)            return T->nodes[T->nodes[j].parent].data;              return Nil;        }

获取节点的最左孩子节点

TElemType LeftChild(PTree *T,TElemType cur_e){ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */  /* 操作结果：若cur_e是T的非叶子节点，则返回它的最左孩子，否则返回"空"*/  int i,j;  for(i=0;i<T->n;i++)   /* 找到cur_e，其序号为i */      break; /* 根据树的构造函数，孩子的序号>其父节点的序号 */    if(T->nodes[j].parent==i) /* 根据树的构造函数，最左孩子(长子)的序号<其它孩子的序号 */      return T->nodes[j].data;   return Nil; }

获取节点的右兄弟节点

TElemType RightSibling(PTree *T,TElemType cur_e){ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */  /* 操作结果：若cur_e有右(下一个)兄弟，则返回它的右兄弟，否则返回"空"*/        int i;        for(i=0;i<T->n;i++)           if(T->nodes[i].data==cur_e)            /* 找到cur_e，其序号为i */                 break;             if(T->nodes[i+1].parent==T->nodes[i].parent)             /* 根据树的构造函数，若cur_e有右兄弟的话则右兄弟紧接其后 */               return T->nodes[i+1].data;                 return Nil;                }

输出树

void Print(PTree *T){  /* 输出树T。加 */          int i;          printf("节点个数=%d\n",T->n);           printf(" 节点 父节点\n");           for(i=0;i<T->n;i++)            {               printf("    %c",Value(T,i)); /* 节点 */                 if(T->nodes[i].parent>=0) /* 有父节点 */                    printf("    %c",Value(T,T->nodes[i].parent)); /* 父节点 */                           printf("\n");                   }}

向树中插入另一棵树

Status InsertChild(PTree *T,TElemType p,int i,PTree c){  /* 初始条件：树T存在，p是T中某个节点，1≤i≤p所指节点的度+1，非空树c与T不相交 */ /* 操作结果：插入c为T中p节点的第i棵子树 */      int j,k,l,f=1,n=0;  /* 设交换标志f的初值为1，p的孩子数n的初值为0 */      PTNode t;      if(!TreeEmpty(T)) /* T不空 */  {         for(j=0;j<T->n;j++) /* 在T中找p的序号 */          if(T->nodes[j].data==p) /* p的序号为j */                 break;            l=j+1; /* 如果c是p的第1棵子树，则插在j+1处 */            if(i>1) /* c不是p的第1棵子树 */    {              for(k=j+1;k<T->n;k++) /* 从j+1开始找p的前i-1个孩子 */                if(T->nodes[k].parent==j) /* 当前节点是p的孩子 */                { n++; /* 孩子数加1 */                  if(n==i-1) /* 找到p的第i-1个孩子，其序号为k1 */                    break;                }              l=k+1; /* c插在k+1处 */            }         /* p的序号为j，c插在l处 */            if(l<T->n)         /* 插入点l不在最后 */              for(k=T->n-1;k>=l;k--) /* 依次将序号l以后的节点向后移c.n个位置 */      {                 T->nodes[k+c.n]=T->nodes[k];                if(T->nodes[k].parent>=l)                  T->nodes[k+c.n].parent+=c.n;              }             for(k=0;k<c.n;k++)    {               T->nodes[l+k].data=c.nodes[k].data; /* 依次将树c的所有节点插于此处 */               T->nodes[l+k].parent=c.nodes[k].parent+l;    }             T->nodes[l].parent=j; /* 树c的根节点的父节点为p */            T->n+=c.n; /* 树T的节点数加c.n个 */             while(f)             { /* 从插入点之后，将节点仍按层序排列 */               f=0; /* 交换标志置0 */               for(j=l;j<T->n-1;j++)                   if(T->nodes[j].parent>T->nodes[j+1].parent)         {/* 如果节点j的父节点排在节点j+1的父节点之后（树没有按层序排列），交换两节点*/                     t=T->nodes[j];                     T->nodes[j]=T->nodes[j+1];                     T->nodes[j+1]=t;                     f=1; /* 交换标志置1 */                     for(k=j;k<T->n;k++) /* 改变父节点序号 */                       if(T->nodes[k].parent==j)                         T->nodes[k].parent++; /* 父节点序号改为j+1 */                       else            if(T->nodes[k].parent==j+1)                         T->nodes[k].parent--; /* 父节点序号改为j */                   }               }                  return OK;                }           else /* 树T不存在 */             return ERROR;         }

删除子树

Status deleted[MAX_TREE_SIZE+1]; /* 删除标志数组(全局量) */void DeleteChild(PTree *T,TElemType p,int i){ /* 初始条件：树T存在，p是T中某个节点，1≤i≤p所指节点的度 */  /* 操作结果：删除T中节点p的第i棵子树 */  int j,k,n=0;  LinkQueue q;  for(j=0;j<=T->n;j++)   /* 置初值为0(不删除标记) */  pq.name='a';InitQueue(&q); /* 初始化队列 */  for(j=0;j<T->n;j++)     break;     /* j为节点p的序号 */    for(k=j+1;k<T->n;k++)  {       if(T->nodes[k].parent==j)            n++;             if(n==i)                break;  /* k为p的第i棵子树节点的序号 */               }           if(k<T->n) /* p的第i棵子树节点存在 */  {                 n=0;                 pq.num=k;                 deleted[k]=1; /* 置删除标记 */                 n++;                 EnQueue(&q,pq);                 while(!QueueEmpty(q))    {                   DeQueue(&q,&qq);                     for(j=qq.num+1;j<T->n;j++)                       if(T->nodes[j].parent==qq.num)                       {                         pq.num=j;                         deleted[j]=1; /* 置删除标记 */                         n++;                         EnQueue(&q,pq);                       }                   }                   for(j=0;j<T->n;j++)                     if(deleted[j]==1)                     {                       for(k=j+1;k<=T->n;k++)                       {                         deleted[k-1]=deleted[k];                         T->nodes[k-1]=T->nodes[k];                         if(T->nodes[k].parent>j)                           T->nodes[k-1].parent--;                         }                          j--;                       }                   T->n-=n;                /* n为待删除节点数 */                   }            }

层序遍历树

void TraverseTree(PTree *T,void(*Visit)(TElemType)){  /* 初始条件：二叉树T存在,Visit是对节点操作的应用函数 */  /* 操作结果：层序遍历树T,对每个节点调用函数Visit一次且仅一次 */   int i;   for(i=0;i<T->n;i++)     Visit(T->nodes[i].data);   printf("\n");}

孩子链表表示法
存储结构[5]

/*树的孩子链表存储表示*/ typedef struct CTNode {  // 孩子节点    int child;    struct CTNode *next; }  *ChildPtr; typede

3.2 二叉树及存储结构

(1）顺序存储方式typenode=recorddata:datatypel,r:integer;end;vartr:array[1..n]ofnode;(2)链表存储方式，如：typebtree=^node；node=recorddata:datatye;lchild,rchild:btree;end;

3.3 二叉树的遍历

先序遍历首先访问根，再先序遍历左（右）子树，最后先序遍历右（左）子树，C语言代码如下：void XXBL(tree*root){//DoSomethingwithrootif(root->lchild!=NULL)XXBL(root->lchild);if(root->rchild!=NULL)XXBL(root->rchild);}中序遍历首先中序遍历左（右）子树，再访问根，最后中序遍历右（左）子树，C语言代码如下void ZXBL(tree*root){if(root->lchild!=NULL)ZXBL(root->lchild);//DoSomethingwithrootif(root->rchild!=NULL)ZXBL(root->rchild);}后序遍历首先后序遍历左（右）子树，再后序遍历右（左）子树，最后访问根，C语言代码如下void HXBL(tree*root){if(root->lchild!=NULL)HXBL(root->lchild);if(root->rchild!=NULL)HXBL(root->rchild);//DoSomethingwithroot}层次遍历即按照层次访问，通常用队列来做。访问根，访问子女，再访问子女的子女（越往后的层次越低）（两个子女的级别相同）

例子：

范例二叉树：AB CD E此树的顺序结构为：ABCD##Eintmain(){node*p=newnode;node*p=head;head=p;stringstr;cin>>str;creat(p,str,0)//默认根节点在str下标0的位置return0;}//p为树的根节点（已开辟动态内存）,str为二叉树的顺序存储数组ABCD##E或其他顺序存储数组，r当前结点所在顺序存储数组位置void creat(node*p,stringstr,intr){p->data=str[r];if(str[r*2+1]=='#'||r*2+1>str.size()-1)p->lch=NULL;else{p->lch=newnode;creat(p->lch,str,r*2+1);}if(str[r*2+2]=='#'||r*2+2>str.size()-1)p->rch=NULL;else{p->rch=newnode;creat(p->rch,str,r*2+2);}}

http://www.jianshu.com/p/45dd59940323

4.1 二叉搜索树
Size Balanced Tree(SBT)
AVL树
红黑树
Treap(Tree+Heap)
这些均可以使查找树的高度为O(log(n))
4.2 平衡二叉树

5.1 堆
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。常见的堆有二叉堆、斐波那契堆等。
堆的定义如下：n个元素的序列{k1,k2,ki,…,kn}当且仅当满足下关系时，称之为堆。
(ki <= k2i,ki <= k2i+1)或者(ki >= k2i,ki >= k2i+1), (i = 1,2,3,4…n/2)
若将和此次序列对应的一维数组（即以一维数组作此序列的存储结构）看成是一个完全二叉树，则堆的含义表明，完全二叉树中所有非终端结点的值均不大于（或不小于）其左、右孩子结点的值。由此，若序列{k1,k2,…,kn}是堆，则堆顶元素（或完全二叉树的根）必为序列中n个元素的最小值（或最大值）。[1]
支持的基本操作
堆支持以下的基本:

build:建立一个空堆；insert:向堆中插入一个新元素；update：将新元素提升使其符合堆的性质；get：获取当前堆顶元素的值；delete：删除堆顶元素；heapify：使删除堆顶元素的堆再次成为堆。

5.2 哈夫曼树与哈夫曼编码

二叉树中有一种特别的树——哈夫曼树（最优二叉树），其通过某种规则（权值）来构造出一哈夫曼二叉树，在这个二叉树中，只有叶子节点才是有效的数据节点（很重要），其他的非叶子节点是为了构造出哈夫曼而引入的！

哈夫曼编码是一个通过哈夫曼树进行的一种编码，一般情况下，以字符：‘0’与‘1’表示。编码的实现过程很简单，只要实现哈夫曼树，通过遍历哈夫曼树，规定向左子树遍历一个节点编码为“0”，向右遍历一个节点编码为“1”，结束条件就是遍历到叶子节点！因为上面说过：哈夫曼树叶子节点才是有效数据节点！

首先就定义一个二叉树结构：

struct tree{         char date;//数据         bool min;//叶子节点         int quanzhi;//权值         struct tree *zuo,*you;//左右孩子}*tre;

其中权值是我们最需要关心的，因为我们就是要通过权值来构造，但权值怎么规定呢？当然是根据实际情况来！其中叶子节点是为了标记是叶子节点，便于后期编码！

为了简单说明，第一个例子就直接定义多个哈夫曼树节点，然后通过这些节点来构造出最终的哈夫曼树！

tree tr[9]={{'a',true,5},{'b',true,2},{'c',true,9},{'d',true,3},{'e',true,6}};

tr是一个哈夫曼数组，其中每个元素都是一个哈夫曼树，我们的任务就是将这些元素“整合”起来，使它们联系起来构成一个哈夫曼树。初始时，数组每个元素都是没有联系的，我们的任务就是把它们通过struct tree *zuo,*you;//左右孩子 来连接起来，形象上就是构成一棵二叉树。

我们先通过语言叙述的方法来构造一棵哈夫曼二叉树：

a 权值5

b权值2

c权值9

d权值3

e权值6

首先，取权值最小的两个节点“整合”出一个新的节点，该节点的权值为最小两个节点权值之和。如下图：

哈夫曼树详解、实现代码及哈夫曼编码实例

然后，将这个新的节点与剩下元素进行权值比较，依旧取最小的两个权值节点构造 新的节点，反复这个过程，直到取完所有元素，本例的哈夫曼树如下图：

哈夫曼树详解、实现代码及哈夫曼编码实例

其中叶子节点（也就是2,3,5,6,9）是有效的数据节点！构造时节点的左右顺序并不影响哈

曼树的构造，但会导致出现不同的编码，当然编码只要不出现前缀码就是正确的编码。

实现算法：

实现算法有很多种，关键是要理解它构造的原理。

通过上面的例子，我们知道构造一个哈夫曼树，需要的节点数数有效数据节点的2*n-1,其中

n是有效数据的个数，如上面例子，有效数据个数有5个，但最终构造出的哈夫曼树有2*5-1=9

个节点，所以根据这个性质就可写出一种算法：

tree tr[9]={{'a',true,5},{'b',true,2},{'c',true,9},{'d',true,3},{'e',true,6}};

5个数据所以需要9个空间，其中9-5=4个空间是给那些无效节点使用的（哈夫曼树种非叶子节点）。

首先，我们遍历这个数组，找到最小的两个元素。

然后，将他们移动到前面，并将权值求和构造出新的节点，新的节点左右子树指向最小的两个元素，将这个新节点插入有效数据后面。

最后，从第2+1个元素(前面两个无需遍历了)开始重新遍历。

重复上述过程，直到数组填满，填满后的最后一个元素就是最终的哈夫曼树。

如第一次遍历后数组tr[9]状态就变为：

tree tr[9]={ {'d',true,3},{'b',true,2},{'c',true,9}, {'a',true,5},{'e',true,6},{‘’,false,5,tr[0],tr[1]}}

最小的两个元素移到了前面，有效数据增加了一个,并且新节点左右子树指向前面两个元素。

完整哈夫曼实现代码如下;

// hfm.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。//#include "stdafx.h"#includestatic int hfmb=0;struct tree{         char date;//数据         bool min;//叶子节点         int quanzhi;//权值         struct tree *zuo,*you;//左右孩子}*tre;struct shfm{         char date;//字符数据         char bianm[11];//哈夫曼编码,最大编码数为11（可根据实际修改！）}hfm[100];//哈夫曼编码对应真实数据表void gettree(tree tr[],int shij,int youx)//构造哈夫曼树,tr树集合，shij集合实际数据个数,youx集合有效数据个数{         //模拟动态增长数组，每次构造新的树就插入有效数据后面         if (2*youx-1!=shij)         {                   printf("参数不符合！");                   return;         }         int c=0;         while(youx!=shij)//当有效个数==实际个数时，构造完成！         {                   for (int i=c;i                   {                            //每次循环取两个最小值并将两个最小值放置在当前循环起始两位                            if (tr[i].quanzhi                            {                                     tree p=tr[i];                                     tr[i]=tr[c];                                     tr[c]=p;                            }                            if (tr[i].quanzhi                            {                                     tree p=tr[i];                                     tr[i]=tr[c+1];                                     tr[c+1]=p;                            }                   }                   //以下为通过最小值构造的新树                   tr[youx].quanzhi=tr[c].quanzhi+tr[c+1].quanzhi;        tr[youx].you=&tr[c];//新树右孩子指向当前循环的最小值之一                   tr[youx].zuo=&tr[c+1];//新树左孩子指向当前循环的最小值之一                   youx++;//新树插入当前有效数据个数后面 并使有效数据个数+1                   c=c+2;         }}void bianltree(tree *tr,char ch[])//哈夫曼编码{         //通过遍历树，得到每个节点的编码         static int i=0;         if (!tr->min)//叶子节点         {                   ch[i]='0';                   i++;                   bianltree(tr->zuo,ch);//左节点编码为"0"                   ch[i]='1';                   i++;                   bianltree(tr->you,ch);//右节点编码为"1"         }         if (tr->min)         {                   ch[i]='\0';//结束标记()                   printf("%c    %s \n",tr->date,ch);                   hfm[hfmb].date=tr->date;                   int j=0;                   while(j!=i||i>10)                   {                            hfm[hfmb].bianm[j]=ch[j];                            j++;                   }//保存编码映射表                   hfmb++;         }                   i--;//递归走入右叶子节点时，取消当前赋值(当前必为左边叶子节点)}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){         tree tr[9]={{'a',true,5},{'b',true,2},{'c',true,9},{'d',true,3},{'e',true,6}};//      printf("%d  \n",sizeof(tr)/sizeof(tree));         gettree(tr,9,5);         char ch[100];         //printf("%s\n",ch);         bianltree(&tr[8],ch);         return 0;}

哈夫曼树详解、实现代码及哈夫曼编码实例

其中gettree()函数是构造哈夫曼过程，bianltree()是通过哈夫曼树编码过程，struct shfm

结构体是保存字符数据与它的哈夫曼编码的映射表，可用也可不用，这里之所以使用，是因为通过一次遍历就可得到所有元素的编码，以后要编码只需查表即可，以空间换时间。

下面介绍哈夫曼的应用举例：

通过上文的介绍，下面就介绍哈夫曼的实际运用。

本例的模拟效果是：通过传入一串字符串，返回该字符串的编码。并且通过传入一个有效的编码得到一个字符串！

下面给出完整代码，该代码基于上述代码之上进行修改，并优化上述代码。

// hfm.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。//#include "stdafx.h"#includestatic int hfmb=0;struct tree{         char date;//数据         bool min;//叶子节点         int quanzhi;//权值         struct tree *zuo,*you;//左右孩子}*tre;struct shfm{         char date;//字符数据         int len;//编码长度         char bianm[11];//哈夫曼编码,最大编码数为11（可根据实际修改！）}hfm[100];//哈夫曼编码对应真实数据表void gettree(tree tr[],int shij,int youx)//构造哈夫曼树,tr树集合，shij集合实际数据个数,youx集合有效数据个数{         //模拟动态增长数组，每次构造新的树就插入有效数据后面         if (2*youx-1!=shij)         {                   printf("参数不符合！");                   return;         }         int c=0;         while(youx!=shij)//当有效个数==实际个数时，构造完成！         {                   for (int i=c;i                   {                            //每次循环取两个最小值并将两个最小值放置在当前循环起始两位                            if (tr[i].quanzhi                            {                                     tree p=tr[i];                                     tr[i]=tr[c];                                     tr[c]=p;                            }                            if (tr[i].quanzhi                            {                                     tree p=tr[i];                                     tr[i]=tr[c+1];                                     tr[c+1]=p;                            }                   }                   //以下为通过最小值构造的新树                   tr[youx].quanzhi=tr[c].quanzhi+tr[c+1].quanzhi;                   tr[youx].you=&tr[c];//新树右孩子指向当前循环的最小值之一                   tr[youx].zuo=&tr[c+1];//新树左孩子指向当前循环的最小值之一                   youx++;//新树插入当前有效数据个数后面 并使有效数据个数+1                   c=c+2;         }         return ;}void bianltree(tree *tr)//哈夫曼编码{         //通过遍历树，得到每个节点的编码         static char ch[100];         static int i=0;         if (!tr->min)//叶子节点         {                   ch[i]='0';                   i++;                   bianltree(tr->zuo);//左节点编码为"0"                   ch[i]='1';                   i++;                   bianltree(tr->you);//右节点编码为"1"         }         if (tr->min)         {                   ch[i]='\0';//结束标记()                   printf("%c    %s \n",tr->date,ch);                   hfm[hfmb].date=tr->date;                   hfm[hfmb].len=i;                   int j=0;                   while(j!=i||i>10)                   {                            hfm[hfmb].bianm[j]=ch[j];                            j++;                   }//保存编码映射表                   hfmb++;         }         i--;//递归走入右节点时，取消当前赋值(当前必为左边叶子节点)}void chushihuahmf(tree *hfmtree,char *str,int i){//初始化哈夫曼树数组！参数：含哈夫曼树数组，待编码数据串,数据串长度         int j=0;         while(*str)         {//初始化有效的数组元素                   hfmtree->date=*str;//待编码数据                   hfmtree->min=true;//是否叶子节点                   hfmtree->quanzhi=*str;//权值                   str++;                   hfmtree++;                   j++;         }         while(j<=2*i-2)         {                   //初始化非有效数组元素                   hfmtree->min=false;//全部非叶子节点                   j++;                   hfmtree++;         }//注：本函数权值是根据字符ascll码判断！可根据实际情况重新定义初始化函数！}char * hfmbm(char *str){//哈夫曼编码函数  参数：待编码字符串！         int i=0;//统计字符串字符数         int j=i;         char *p=str;//备份字符串首地址         while(*str)//统计字符数         {                   i++;                   str++;         }         //printf("%d",i);         tree *hfmtree=(tree *)malloc(sizeof(tree)*(2*i-1));//根据字符数开辟可用空间         str=p;         tree *pp=hfmtree;//备份哈夫曼数组首地址         chushihuahmf(hfmtree,str,i);//根据ascll码制定权值并依此构造数组（根据实际情况可自行修改）         hfmtree=pp;         gettree(hfmtree,2*i-1,i);//构造一个哈夫曼树         tre=&hfmtree[2*i-2];//得到哈夫曼树         bianltree(tre);//通过哈夫曼树编码 并保存在编码         char *restr=(char *)malloc(sizeof(char)*i*11);//开辟编码后的字符串地址         int k=0;         p=restr;         while(k         {//通过遍历 编码映射表 编码字符 通过映射表的字符匹配后返回编码                   int b=0;                   while(b                   {                            if (hfm[b].date==str[k])                            {                                     for (int j=0;j                                     {                                               *restr=hfm[b].bianm[j];                                               restr++;                                     }                                     break;                            }                            b++;                   }                   k++;         }         *restr='\0';         restr=p;         printf("编码完成：\n%s\n",restr);         return restr;}void hfmjm(char *hmf){//哈夫曼解码 参数哈夫曼编码后的数据串         tree *p=tre;//得到哈夫曼树         while(*hmf)         {                   if (*hmf=='0')//编码为0走左子树                   {                            tre=tre->zuo;                            if (tre->min)//为叶子节点                            {                                     printf("%c",tre->date);//输出编码                                     tre=p;                            }                            hmf++;                            continue;                   }                   if (*hmf=='1')//编码为1走右子树                   {                            tre=tre->you;                            if (tre->min)                            {                                     printf("%c",tre->date);                                     tre=p;                            }                            hmf++;                            continue;                   }                   printf("不能识别编码：%c\n",*hmf);                   return;         }         printf("\n");         tre=p;//还原哈夫曼树         //注：本解码是根据哈夫曼树解码 本程序还可以根据编码映射表解码}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){         char *ch="abcd@#$3456asd";         printf("待编码数据位：%s\n",ch);         printf("编码格式：\n");         char *str=hfmbm(ch);         printf("解码:\n");         hfmjm(str);         //////解码测试：只要输入编码映射表（struct shmf结构体）有的编码 就能实现解码！         printf("\n解码测试:请根据已有编码格式输入编码\n");         char hmf[100];         gets(hmf);         printf("解码:\n");         hfmjm(hmf);         return 0;}

函数说明：

char * hfmbm(char *str)函数是完成哈夫曼树构造的函数，用户只需传入一个带编码的字符串就可，本函数就可根据字符串开辟数组空间，并构造哈夫曼树。

void chushihuahmf(tree *hfmtree,char *str,int i)函数是初始化哈夫曼树权值的函数，因为我们构造时需要指定构造规则（即权值），本函数为了方便，直接使用ascll码作为权值构造，本函数可根据实际情况修改。

void hfmjm(char *hmf)函数是解码函数，通过传入有效编码解码出字符串！

我们发现相同元素有不同的编码，不过这不影响编码与解码，但从空间、时间角度应该避免这种情况，篇幅有效，本文将不再处理，在本例中由于有映射表，所有可以通过遍历映射表删除重复元素。
5.3 集合及运算

小白专场：堆中的路径 - C语言实现

6.1 什么是图

6.2 图的遍历

6.3 应用实例：拯救007

6.4 应用实例：六度空间

小白专场：如何建立图- C语言实现

树之习题选讲-Tree Traversals Again

树之习题选讲-Complete Binary Search Tree

树之习题选讲- Huffman Codes

7.1 最短路径问题

小白专场：哈利·波特的考试- C语言实现

第八讲 图（下）[陈越]

8.1 最小生成树问题

8.2 拓扑排序

图之习题选讲-旅游规划

第九讲 排序（上）[陈越]

9.1 简单排序（冒泡、插入）

9.2 希尔排序

9.3 堆排序

9.4 归并排序

第十讲 排序（下）[陈越]

10.1 快速排序

10.2 表排序

10.3 基数排序

10.4 排序算法的比较

11.1 散列表\哈希表

11.2 散列函数的构造方法

11.3 冲突处理方法

11.4 散列表的性能分析

11.5 应用实例：词频统计