遗迹系列 -【学渣告诉你】到底神马是傅里叶级数！

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另添加一篇关于讲解傅里叶变换的文章 - 傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06

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作为一个KB到极点的前T大垫纸系的学渣男孩纸, 尼玛学傅里叶级数/变换的时候纯粹桑不起啊! !

本日志的参考文献为: 陈宇航 《傅里叶级数的几何意义 – 巧妙记忆公式的方法》

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我们的提纲如下:

1. 为什么我们要分解一个函数
2. 傅里叶级数就是三角级数
   2.1 傅里叶级数就是把周期函数展开成基频和倍频分量
   2.2 每个分量的大小我们用投影的方法来求.

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你是大学生吗? 你学理工科吗? 你还不知道傅里叶级数吗? 你以为傅里叶和泰勒有什么亲戚关系吗? 你一定听说过傅里叶展开和泰勒展开吧? 展开的结果就是傅里叶级数和泰勒级数. 他们是对一个函数的不同的展开方法.

相信我, 傅里叶分解其实巨简单!

但是最开始的问题一定是: 我们为什么要展开一个函数?!

一个函数 y=1 他的泰勒展开是神马? 还是 y=1.

那么y=x的展开呢? 是 y=x.

我们知道, 泰勒展开是把函数分解成1,x,x2,x3,⋯等等幂级数的和.

就是把一个函数变成几个函数的和啊! 这个展开的式子就是泰勒级数啊!

对函数的展开和5=2+3 一样一样一样的啊! 要多简单有多简单有木有啊!

但是你要注意啊:

展开的很多时候是有无限项不能穷尽的呀!

你还记得sinx的泰勒展开是什么吗?

sinx=0+x–13!x3+15!x5−⋯

那么现在提问: 你知道为什么要展开成幂级数的和吗? 请看这里:

因为我们把 y 展开成泰勒级数 y=1+x+x2+x3+x4+⋯ 的时候我们可以无限细分得到函数在每个点的变化呀!

这和你把3234.352拆成3000+200+30+4+0.3+0.05+0.002一样一样一样的啊!

所谓对函数的无限细分, 就是不断求导, 得到1,2,3,4,5,6,7,8,9等各阶变化率, 从而得到这个函数到底在各个点精细变化的有多剧烈啊!

还记得神马叫变化吗? 位移的变化是速度, 速度的变化是加速度, 加速度的变化是加加速度的. 一句话, 变化就是导数啊!

泰勒级数的每一阶的系数 (主值 ) 就是各阶导数啊!!

所以泰勒级数就是在描述一个函数的各个点的变化啊啊啊!

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喂! 不要再跑题啦! 我们是要说傅里叶级数的好不好! !

你不认识傅里叶? 没有任何关系, 但是你见过三角形吗? 知道三角函数吗?

傅里叶级数又叫三角级数啊. 一句话就是把函数 y 拆成三角函数的和啊啊!!

神马, 你还记得神马是三角函数吗? sinx,cosx等等.

那么展开成三角级数, 简单!

y=sinx+sinx2+sinx3+⋯ 是这样吗? ? ? ?

楼主, 这样真的没有问题吗?

原谅楼主吧, 上面的式子是错的!

当当当当! 下面才是傅里叶级数:

y=1+sinx+cosx+sin2x+cos2x+⋯

这才是傅里叶级数!

喂喂喂, 这都是神马呀? 凭神马能拆成三角函数的和呀呀! 为什么要是 sinx,sin2x⋯ 呀呀呀!

亲, 你知道的!只有周期函数才有傅里叶级数!!也就是说只有周期函数可以拆成三角函数的和呀呀!!

你要问非周期函数肿么办? 那你就要去了解傅里叶变换了. 我变我变我变变变.

任何一个比较正常 (没有间断点的函数) , 基本上都可以进行傅里叶变换呀呀呀!! (这句话我才不保证严谨性)

好好好. 我们就来解释一下傅里叶级数的形式:

我们来说一下为什么要把周期函数拆成三角函数的和,这也是和为什么要把一个函数拆成幂级数的和一样本质的问题.

好, 周期函数总有周期吧.

比如说, 你在学唱歌, 喊了一秒, 歇一秒, 再喊一秒, 歇一秒… 你就一直从历史喊到了未来, 永不停歇. 这样你的发声便是一个周期为2秒的方波. (假设你的气息平稳, 喊的声音大小是不变的, 噢这真是难为你了. )

就像这样: (只看上半部分!! )

画图的这玩意儿叫MATLAB. 好NB的赶脚.

你以为你的声音就仅仅是周期为2秒的方波这么简单吗? 大错特错.

告诉你, 你的声音是很多个不同频率的正弦波组成的! (虽然你也可以认为方波而不是正弦波是组成世界的基础, 哈哈,这样的想法是对的!持有那样想法的人搞出来了沃尔什变换!就是用一系列周期为12n的函数来模拟原来的函数. )

那你知道你想知道为什么分解成三角函数的和 (正弦波) 那么重要吗? ?

那是因为,我们知道, 对于一个周期函数来说, 和周期对应的叫频率. 频率表示了周期性变化的快慢 (比如说振动的快慢) .

我们知道弹簧是有振动频率的, 电磁波是有振荡频率的, 光也是有频率的. 那么频率就是这些物质的本质属性.

在电子学里, 我们知道电容是隔直通交的. 但是怎么一个”隔直通交”法呢? 其实这就是电容对不同频率的电学量 (比如电压和电流) 的频率特性不同的体现. 对于频率为0的电压, 不论有多少电压, 它的电流都为0, 对于频率为w (跟我一起念: 欧米茄) 的电压, 会产生与w和电压U成正比的电流. 所以说我们要把一个函数分成不同频率的分量.

喂喂喂先等等, 分解成不同频率没问题, 那凭什么是正弦/余弦的频率呀!

因为正弦/余弦函数是二阶偏微分方程 (就是含有电容等元件的电路方程 ) 的本!征!解!.

[多说一下. . (????)]这个世界上只有两个函数能够满足给自己求二阶导还是这种函数自己本身 (仅相差常数系数和正负号) , 一种是ex, 另一种就是sinx,cosx. 后人又在复数域里统一了他们成为ez=ex∗eyi) 别问我为什么… 要问就问e是什么和什么是欧几里得空间,为什么勾股定理成立.

所以呢, 对于一个一般的物理量 (电学量) 来说, 它可能不是正弦函数/余弦函数. 但他们都是可以拆成不同频率的三角函数的组合的. 最为最为重要的是, 对于某种单频的三角函数, 电路系统 (或者多数其他物理系统 ) , 对某种频率的三角函数的输入的响应还是同频率的三角函数, 只可能是相位 (前后) 或者幅度(大小) 发生变化. 骚年!你终于知道神马叫上面说的二阶偏微分方程的本!征!解!了吧!!只有ex 和coswx,sinwx 响应才会是形式不变的呀呀!!

好好好, 又废了不少话. 不过我们已经大工告成一半了.

我们知道要把函数展开成三角不同频率的三角函数的和,而且系统对某种频率的三角函数的响应方式还是同频率的三角函数, 所以响应也是对这些不同三角频率响应的叠加(这叫什么, 这就叫频域分析, 这就叫信号与系统!! )

我们回来看看下面这个真实的例子, 这也是一个方波 (只不过它是从正到负的, 相当于我们之前的方波下移了12A,A是幅度) , 下面好好欣赏一下彩图吧!我们可以看出来, 它是由sinx,sin3x,sin5x,sin7x组成的. 我们如果把一个方波放到一个电路里的话, 它出来的绝不是方波, 但却是对sinx,sin3x,sin5x,sin7x,⋯分别的反馈的叠加 (分别是系统对sinx,sin3x,sin5x,sin7x的反馈的叠加… ) .

再回来看看我们的傅里叶级数的公式吧:

好复杂啊有木有!

尼玛这样的数学就是唬人的!

公式里的l是周期的一半 (或者说周期是2l ) .

用这个式子我们就可以表示周期是2l的各种样子的周期函数. 就像我们上面的方波那样. 而1/2l就是它的基频. 之所以所有的频率都是基频的倍数那是因为它要符合周期性边界条件!

好吧可是为什么又有cosx又有sinx?! 好难看的公式有木有!

其实分明就应该是

f(x)=a0+A1sin(w1x+ϕ1)+A2sin(2w1x+ϕ2)+⋯

不要把相位拆开呀好不好, 还弄个an,bn搞得一团糟啊啊!

但是你把相位拆开了就是上面的式子啊啊啊!

但你要知道, 这个相位是多少我们是不知道的, 为了求相位我们需要把每一个频率 (k )的coskx的幅度和sinkx的幅度都搞清楚再求出来啊啊, 所以ak和bk这两个系数合起来才能搞清楚Ak和ϕk啊!

一句话, 傅里叶级数就是把周期函数拆开成 常数 (直流分量 ) +一倍频分量+2倍频分量+⋯这么简单的一件事啊啊!

可是拆开的每个分量的大小我还不知道啊啊!!

你要告诉我系数a0,a1,a2,a3,b1,b2,b3,⋯都怎么算啊!

怎么算, 拿投影算啊! 你没学过函数的投影你还没学过向量的投影吗啊!

向量的投影是直接用a·b 啊啊. 函数的投影是神马? 是下面这个东东啊!

一个函数u和一个函数v的内积,就是他们俩相乘, 然后在全区间上积分啊!

在周期函数里区间端点a和b就是任何一个长度为2π的区间端点啊啊, 我们一般取的是好算的0和2π, 你要取−π和π是一样一样的, 因为他们都是周期重复的.

为神马要积分搞不懂啊啊, 积分就是就是累加, 你把两个函数在每一个对应点x上面都相乘了然后取个积分就是对两个函数所有的a到b上的函数值做乘积再累加啊!

那么我们把u取f(x), 把v分别取1,sinx,sin2x,sin3x,⋯,cosx,cos2x,cos3x,⋯ 这就是做投影就能得到每一个频率的各自部分的分量大小啊!

为什么像这样做内积就可以呢? ?

当当当当, 这里出来了一个重要的概念, 大名鼎鼎的完备单位正交基啊!

完备是说你用1,sinx,cosx,sin2x,cos2s,sin3x,cos3x,…完全能够把一个函数f(x)表示出来啊 (就像用1,x,x2,x3,⋯可以表示f(x)是一样的 ) .

那正交又是神马呢? 正交就是说他们两两都不相关啊!

你看下面的式子 (积分号这么写你还一定看得懂啊! )
∫2π01∗sinxdx=0
∫2π0sinmx∗cosnxdx=0
∫2π0sinmx∗sinnxdx=0

两两相乘在区间内累加都等于零啊!

不要问我为什么刚刚好都等于零, 这个问题我只能回答世界真奇妙啊啊!

[喂喂喂, 两两不相关还没完, 单位正交基还要求每一个的长度为1你都忘了喂! ]

∫2π01∗1dx=2π [打叉叉]不是[单位正交基]

∫2π0sinkx∗sinkxdx=π [打叉叉]不是[单位正交基]

都… . . 不等于一… . 就把它变成一!

∫2π012π√∗12π√dx=1

∫2π01π√sinkx∗1(√π)sinkxdx=1

所以傅里叶分解真正的基底是下面这些啊!

12π√,1π√sinx,1π√cosx,1π√sin2x,1π√cos2x,⋯

我告诉你你之所以把 f(x) 和上面的任何一个相乘再再去取积分就得到了某一个的系数 是因为你在积分的时候其实把其他的基底的分量都 积掉了!

就像你面前放了一个番茄一个黄瓜你拿一个红色的眼镜一看! 黄瓜木有啦! 或者如果你要看黄瓜你就换一个绿色的眼镜! 番茄木有啦! 这样说还不明白吗!

那你知道了周期为2l的单位正交基就是:
12l√,1l√sinx,1l√cosx,1l√sin2x,1l√cos2x,⋯!

你要算系数还是用f(x)和每一个相乘再求积分就出来了啊!!傅里叶分解就是这么简单啊!

我们用最简洁的几张图重放一遍:

傅里叶级数就是把f(x)拆成不同频率三角函数的和:

用内积的方法分解出每一个分量的系数:

下面更直接地写出了怎么用内积的方法计算系数(骚年, 有木有看到啊, 非单位化的基底有多么难看啊!)

我该说的都说完了, 你到底懂没懂啊!! (没懂的自行在下面默默留言. . )

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关于复数形式ejx的傅里叶级数, 以及对于非周期函数的傅里叶变换, 同样是“很简单”的事情.

但是里面分别涉及到了对ejx的理解] (以及对欧拉公式的探讨 ) 和对[离散与连续的分析]. lz还没有准备好. 所以这里就先写这么多了. 不过有一点确定的是, 使用复数形式的傅里叶级数和傅里叶变换是比三角形式的傅里叶级数要“简化先进”的. 以及傅里叶变换本来不应该用从傅里叶级数逐渐演变的方式引入的. 欢迎探讨, 敬请期待.

致谢:
感谢万门大学打开了知识分享的大门, 感谢作者陈宇航提供的公式图片.

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fangyang08
13.3.26-27