本文中，用R表示实数，Rn表示实n元x=(ξ1,…,ξn)的向量空间，除非特别指明，否则都是在Rn中讨论。在Rn中两个向量x,x∗的内积表示成
⟨x,x∗⟩=ξ1ξ∗1+⋯+ξnξ∗n
符号A既可以表示m×n的实矩阵A，也可以表示从Rn到Rm相应的线性变换x→Ax。转置矩阵以及从Rm到Rn相应的伴随线性变换都用A∗表示，所以大家需要知道下式的含义
⟨Ax,y∗⟩=⟨x,A∗y∗⟩
(在表示向量的符号中，*不进行任何操作；考虑到矩阵乘法，所有向量都看做列向量。我们不断的使用向量符号是为了让大家熟悉它的二元性，也就说说，既可以将向量看做点，也可以将向量看成线性函数的n元系数)所有证明过程都会用符号|| 表示证明结束。
如果x,y是Rn中不同的点，那么形如下面的点集就叫做通过x,y的直线
(1−λ)x+λy=x+λ(y−x),λ∈R
M是Rn的一个子集，如果对于每一个x∈M,y∈M,λ∈R，可得(1−λ)x+λy∈M，那么我们称这个子集为仿射集(affine set)。
空集∅和空间Rn本身就是仿射集的极端例子，另外M仅有一个孤立点的情况也满足定义。一般来讲，仿射集必须包含通过任意两个点的整条直线，直观印象是不存在弯曲的部分，就像空间中的一条直线或者一个平面。
仿射集正式的几何意义可能是从线性代数中Rn子空间的定理发展来的，仿射集和子空间之间准确的对应关系可以用下面两个定理描述。
定理1.1 Rn的子空间是包含原点的仿射集。
证明：每个子空间包含0并且对于加法和标量乘法封闭，所以它是一个仿射集。
反过来，假设M是一个包含0的仿射集。对于所有的x∈M,λ∈R，我们有
λx=(1−λ)0+λx∈M
所以M对标量乘法封闭。接下来，如果x∈M,y∈M，我们有
12(x+y)=12x+(1−12)y∈M
因此
x+y=2(12(x+y))∈M
所以M也对加法封闭，故它是一个子空间。||
对于M⊂Rn,a∈Rn，将M平移a定义为集合
M+a={x+a|x∈M}
仿射集平移后依然是仿射集，很容易验证这个结论。
对于仿射集M，如果对于某个a,M=L+a，那么我们说M平行于仿射集L。很明显，“M与L平行”是Rn中仿射子集集类的一个等价关系，需要注意的是，这个平行定义和我们平常的平行定义是不同的，例如我们不能说一条线平行于一个平面，但可以说一条线平行于给定平面中的一条线，反之亦然。
定理1.2 每个非空仿射集M平行于唯一的子空间L，L由下式给出
L=M−M={x−y|x∈M,y∈M}
证明：我们首先说明M不能与两个不同的子空间平行。平行于M的子空间L1,L2互相是平行的，那么存在某个a使得L2=L1+a。因为0∈L2，所以−a∈L1，因此a∈L1。但是这样的话L1⊃L1+a=L2，同理我们可以得到L2⊃L1，所以L1=L2，这就建立了唯一性。接下来通过观察得到，对于所有y∈M,M−y=M+(−y) 是M的一个平移操作，并且包含0，根据定理1.1以及刚刚的证明，这个仿射集肯定有唯一一个平行于M的子空间L，因为无论选择哪个y∈M，L=M−y恒成立，所以我们得出L=M−M。||
我们将非空仿射集的维数定义为与它平行的子空间的维数，(按照惯例，将空集∅的维数定义为-1)那么维数为0,1 和2的仿射集自然就称为点，线和面。Rn中(n−1)维的仿射集叫做超平面，超平面非常重要，因为他们不仅表示n维几何中的点，还具有其他含义。
超平面和其他仿射集也许能用线性函数和线性方程表示，我们可以从Rn的正交理论来推断这种形式。回忆一下，根据定义，x⊥y意味着⟨x,y⟩=0，给定Rn的一个子空间L，使得x⊥L(即对于每一个y∈L，x⊥y恒成立)的向量x 的集合叫做L的正交补，用L⊥ 表示。当然，这是另一个子空间，并且
dimL+dimL⊥=n
L⊥的正交补(L⊥)⊥是L。如果b1,…,bm是L的一个基，那么x⊥L等价于x⊥b1,…,x⊥bm。特别地，Rn的(n−1) 维子空间是一维子空间的正交补，一维子空间的基由一个非零向量b构成，因此(n−1)维子空间就是形如{x|x⊥b} 的集合，其中b≠0。超平面就是集合平移后的结果。但是
{x|x⊥b}+a={x+a|⟨x,b⟩=0}={y|⟨y−a,b⟩=0}={y|⟨y,b⟩=β}
其中β=⟨a,b⟩，由此得到超平面的一个特征，即定理1.3。
定理1.3 给定β∈R和一个非零向量b∈Rn，集合
H={x|⟨x,b⟩=β}
是Rn中的一个超平面，而且每个超平面可能用这种方式表示。
在定理1.3中，向量b叫做超平面H的法向量，H的每个法向量要么是b的正倍数，要么是负倍数。也就是说每个超平面有两边，就像R2中的一条直线或者R3中的一个平面，注意R4中的一个平面没有两边。
下一个定理将Rn的仿射子集表示为含有n个变量的联立线性方程组的解集。
定理1.4 给定b∈Rm和m×n的实矩阵B，集合
M={x∈Rn|Bx=b}
是Rn中的仿射集，而且每个仿射集可能用这种方式表示。
证明：如果x∈M,y∈M,λ∈R,那么对z=(1−λ)x+λy，我们有
Bz=(1−λ)Bx+λBy=(1−λ)b+λb=b
所以z∈M，因此给定的M是仿射集。
另一方面，考虑任意一个非空仿射集M而不是Rn本身，让L是平行于M的子空间，令b1,…,bm是L⊥的一组基，那么
L=(L⊥)⊥={x|x⊥b1,…,x⊥bm}={x|⟨x,bi⟩=0,i=1,…,m}={x|Bx=0}
其中B是m×n矩阵，它的行是b1,…,bm。因为M平行于L，所以存在一个a∈Rn使得
M=L+a={x|B(x−a)=0}={x|Bx=b}
其中b=Ba。(仿射集Rn和∅可以用定理中的形式表示，都令B是m×n的零矩阵，在Rn的情况下b=0，在∅的情况下b≠0)||
观察定理1.4我们还可以得出
M={x|⟨x,bi⟩=βi,i=1,…,m}=∩mi=1Hi
其中bi是B的第i行，βi是b的第i个元素，
Hi={x|⟨x,bi⟩=βi}
每个Hi都是一个超平面(bi≠0)，或者空集(bi=0,βi≠0)，或者Rn(bi=0,βi=0)。 空集本身可能是两个不同平行超平面的交集，而Rn可能是Rn中空个超平面的交集，因此：
推论1.4.1 Rn中每个仿射子集是有限个超平面的交集。
定理1.4中的仿射集M可以用向量b′1,…,b′n(他们组成B的列) 表示，
M={x=(ξ1,…,ξn)|ξ1b′1+⋯+ξnb′n=b}
很明显，任意个仿射集的交集依然是仿射集，因此，给定任意S⊂Rn，存在一个唯一的包含S的最小仿射集(即，仿射集M的交集，其满足M⊃S)，这个集合叫做S 的仿射包并用aff S表示。通过证明可以得出aff S由所有形如λ1x1+⋯+λmxm的向量组成，其中xi∈S,λ1+⋯+λm=1。
对于m+1个点b0,b1,…,bm的集合，如果aff {b0,b1,…,bm}是m维的，那么这些点就是仿射无关(affinely independent)。当然
aff{b0,b1,…,bm}=L+b0
其中
L=aff{0,b1−b0,…,bm−b0}
利用定理1.1，L与包含b1−b0,…,bm−b0的子空间是一样的，当且仅当这些向量是线性无关时它的维数是m，所以当且仅当b1−b0,…,bm−b0线性无关时b0,b1,…,bm是仿射无关。
所有关于线性无关的事实都可以应用到仿射无关上。例如，Rn中m+1个点仿射无关可以扩充到n+1个点，一个m维仿射集M可以表示成m+1个点的仿射包(将平行于M子空间的基相应的点进行平移)
注意，如果M=aff{b0,b1,…,bm}，与M 平行的子空间L中的向量是b1−b0,…,bm−b0的线性组合，因此M中的向量可以表示成如下形式
x=λ1(b1−b0)+⋯+λm(bm−b0)+b0
即
x=λ0b0+λ1b1+⋯+λmbm,λ0+λ1+⋯+λm=1
上面的表达式中，当且仅当b0,b1,…,bm仿射无关时，x的系数是唯一的。这时候，作为参数的λ0,λ1,…,λm是M的重心坐标。
从Rn到Rm的单值映射T:x→Tx，如果对于Rn中的每一个x,y，λ∈R，下式成立
T((1−λ)x+λy)=(1−λ)Tx+λTy
那么这个映射就称为仿射变换。
定理1.5 从Rn到Rm的仿射变换就是形如Tx=Ax+a的映射T，其中A是一个线性变换并且a∈Rm。
证明：如果T是仿射的，令a=T0,Ax=Tx−a，那么A是一个仿射变换，并且A0=0。类似于定理1.1，这个简单的论据说明A实际是线性的。
反过来，如果Tx=Ax+a，其中A是线性的，我们可以得出
T((1−λ)x+λy)=(1−λ)Ax+λAy+a=(1−λ)Tx+λTy
因此T是仿射的。||
仿射变换的逆(如果存在的话)还是仿射的。
如果从Rn到Rm的映射T是一个仿射变换，那么对于Rn中的每个仿射集M，像集TM={Tx|x∈M}在Rm 中是仿射的。特别地，仿射变换保留仿射包：
aff(TS)=T(aff S)
定理1.6 令{b0,b1,…,bm}和{b′0,b′1,…,b′m}是Rn中仿射无关集，那么存在一个Rn到自身的一一对应仿射变换T，使得对于i=0,…,m,Tbi=b′i。如果m=n，那么T是唯一的。
证明：如果需要的话，扩展给定的仿射无关集，我们可以将问题简化为m=n的情况，然后，正如线性代数中的那样，存在一个Rn到自身的一对一线性变换A，将Rn中的基b1−b0,…,bn−b0变成另一组基b′1−b′0,…,b′n−b′0，这就得到了我们需要的仿射变换Tx=Ax+a，其中a=b′0−Ab0。||
推论 1.6.1 令M1,M2是Rn中任意两个维数相同的仿射集，那么存在一个Rn到自身的一一对应的仿射变换T，使得TM1=M2。
证明：任何m维仿射集可以表示成m+1个仿射无关集的仿射包，并且在仿射变换下保留仿射包。||
从Rn到Rm的仿射变换T的图像是Rn+m中的一个仿射子集，因为根据定理1.4，如果Tx=Ax+a，T的图像由向量z=(x,y)组成，其中x∈Rn,y∈Rm，使得Bz=b，其中b=−a，B是从Rn+m到Rm的线性变换(x,y)→Ax−y。
特别地，从Rn到Rm的仿射变换x→Ax图像时包含Rn+m原点的仿射集，因此它是Rn+m的某个子空间L(定理1.1)，L的正交补如下
L⊥={(x∗,y∗)|x∗∈Rn,y∗∈Rm,x∗=−A∗y∗}
即L⊥是−A∗的图像。事实上，当且仅当对每个z=(x,y),y=Ax，下式
0=⟨z,z∗⟩=⟨x,x∗⟩+⟨y,y∗⟩
成立，那么z∗=(x∗,y∗)属于L⊥。换句话说，当且仅当对于每个x∈Rn，下式
0=⟨x,x∗⟩+⟨Ax,y∗⟩=⟨x,x∗⟩+⟨x,A∗y∗⟩=⟨x,x∗+A∗y∗⟩
成立，(x∗,y∗)∈L⊥。这就意味着x∗+A∗y∗=0，即x∗=−A∗y∗
任何非平凡仿射集可以用多种方式表示成仿射变换的图像，令M是RN中n维仿射集，其中0<n<N。首先，我们可以将M表示成向量x=(ξ1,…,ξN)的集合，并且坐标满足某个线性方程组
βi1ξ1+⋯+βiNξN=βi,i=1,…,k.
根据定理1.4可知，这总是可能的。M的维度为n意味着系数矩阵B=(βij)零度为n并且秩为m=N−n，因此我们可以用ξ1¯,…,ξn¯的形式求出ξn+1¯¯¯¯¯,…,ξN¯的线性方程组，其中1¯,…,N¯是1,…,N的某个排列，接下来就得到特定形式的方程组
ξn+i¯¯¯¯=αi1ξ1¯+⋯+αinξn¯+αi,i=1,…,m.
再次给出了向量x=(ξ1,…,ξN)属于M的充分必要条件，这个方程组称为给定仿射集的Tucker表示。它将M 表示成某个从Rn到Rm仿射变换的图像，对于某个M，只有有限多个Tucker表示(最多N!个，低于M 中向量的m 个坐标变量ξi可以用另外n个坐标向量按某种顺序进行表示)。
涉及到仿射集的定理通常可以解释成线性方程的定理，这时候，可能给出仿射集的一个Tucker表示，这种表示非常重要，例如线性不等式中的某些结论(定理22.6,22.7)和Fenchel’s对偶定理的某些应用(推论31.4.2)
当然，子空间L的Tucker表示齐次形式为
ξn+i¯¯¯¯=αi1ξ1¯+⋯+αinξn¯,i=1,…,m.
给定L的这种表示作为线性变换的图像，那么正如上面提到的，L⊥对应于负伴随变换的图像，因此，当且仅当
−ξ∗j¯=ξ∗n+i¯¯¯¯α1j+⋯+ξ∗n+m¯¯¯¯¯αmj,j=1,…,n
时，x∗=(ξ∗1,…,ξ∗N)属于L⊥。这就给出了L⊥的Tucker表示，因此给定一个子空间，它的Tucker表示与其正交补的Tucker表示之间有一个简单且有用的一一对应关系。
