芥末菌的算法笔记——递归与分治（一）汉诺塔

问题描述

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设A,B,C是3个塔座。开始时，在塔座A有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座A上的这一叠圆盘移到塔座C上，并仍按同样顺序叠臵。在移动圆盘时应遵守以下移动规则：
规则1：每次只能移动1个圆盘；
规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；
规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至A,B,C中任一塔座上。

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思路

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在问题规模较大时，较难找到一般的方法，因此尝试用递归技术来解决这个问题。
当n=1时，只要将编号为1的圆盘从塔座A直接移至塔座C上。
当n＞1时，需要利用塔座B作为辅助塔座。此时若能设法将n-1个较小的圆盘依照移动规则从塔座A移至塔座B，然后，将剩下的最大圆盘从塔座A移至塔座C，最后，再设法将n-1个较小的圆盘依照移动规则从塔座B移至塔座C。
由此可见，n个圆盘的移动问题可分为2次n-1个圆盘的移动问题，这又可以递归地用上述方法来做。

时间复杂度

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递归表达式

T(n)={12T(n−1)+1n=1n>1

解递归表达式过程

T(n)=2T(n−1)+1=2×(2T(n−2)+1)+1=22×T(n−2)+(22−1)...=2n−1×T(1)+(2n−1−1)=2n−1+2n−1−1=2n−1=o(2n)

则该算法的时间复杂度为 o(2n)

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代码

#include <iostream>using namespace std;void hanoi(int n, char A, char B, char C){//把n片圆盘利用B当辅助塔座从A移动到C    if (n == 1) {        cout<<A<<"->"<<C<<endl;    }    else{        hanoi(n-1, A, C, B);//把n-1片圆盘利用C当辅助塔座从A移动到B        cout<<A<<"->"<<C<<endl;        hanoi(n-1, B, A, C);//把n-1片圆盘利用A当辅助塔座从B移动到C    }}int main(){    hanoi(4,'A','B','C');}