模拟退火算法

这篇文章主要是为了解决：模拟退火算法是个什么鬼？如何实现？

解决寻找最大值问题的几种常见的算法：

1. 爬山法（最速上升爬山法）：

从搜索空间中随机产生邻近的点，从中选择对应解最优的个体，替换原来的个体，不断 重复上述过程。因为只对“邻近”的点作比较，所以目光比较“短浅”，常常只能收敛到离开初始位置比较近的局部最优解上面。对于存在很多局部最优点的问题，通过一个简单的迭代找出全局最优解的机会非常渺茫。（在爬山法中，袋鼠最有希望到达最靠近它出发点的山顶，但不能保证该山顶是珠穆朗玛峰，或者是一个非常 高的山峰。因为一路上它只顾上坡，没有下坡。）

2. 模拟退火：

这个方法来自金属热加工过程的启发。在金属热加工过程中，当金属的温度超过它的熔点（Melting Point）时，原子就会激烈地随机运动。与所有的其它的物理系统相类似，原子的这种运动趋向于寻找其能量的极小状态。在这个能量的变迁过程中，开始时。温度非常高， 使得原子具有很高的能量。随着温度不断降低，金属逐渐冷却，金属中的原子的能量就越来越小，最后达到所有可能的最低点。利用模拟退火的时候，让算法从较大的跳跃开始，使到它有足够的“能量”逃离可能“路过”的局部最优解而不至于限制在其中，当它停在全局最优解附近的时候，逐渐的减小跳跃量，以便使其“落脚 ”到全局最优解上。（在模拟退火中，袋鼠喝醉了，而且随机地大跳跃了很长时间。运气好的话，它从一个山峰跳过山谷，到了另外一个更高的山峰上。但最后，它渐渐清醒了并朝着它所在的峰顶跳去。）

3. 遗传算法：

模拟物竞天择的生物进化过程，通过维护一个潜在解的群体执行了多方向的搜索，并支持这些方向上的信息构成和交换。以面为单位的搜索，比以点为单位的搜索，更能发现全局最优解。（在遗传算法中，有很多袋鼠，它们降落到喜玛拉雅山脉的任意地方。这些袋鼠并不知道它们的任务是寻找珠穆朗玛峰。但每过几年，就在一些海拔高度较低的地方射杀一些袋鼠，并希望存活下来的袋鼠是多产的，在它们所处的地方生儿育女。）（后来，一个叫天行健的网游给我想了一个更恰切的故事：从前，有一大群袋鼠，它们被莫名其妙的零散地遗弃于喜马拉雅山脉。于是只好在那里艰苦的生活。海拔 低的地方弥漫着一种无色无味的毒气，海拔越高毒气越稀薄。可是可怜的袋鼠们对此全然不觉，还是习惯于活蹦乱跳。于是，不断有袋鼠死于海拔较低的地方，而越是在海拔高的袋鼠越是能活得更久，也越有机会生儿育女。就这样经过许多年，这些袋鼠们竟然都不自觉地聚拢到了一个个的山峰上，可是在所有的袋鼠中，只有聚 拢到珠穆朗玛峰的袋鼠被带回了美丽的澳洲。）

由此看出遗传退火算法可以求得最大值，避免陷入局部最优解。

从某个层面上来说，他属于变异的穷举法
看看穷举法的定义：列举所有可能，得到最优解。

穷举法虽然能得到最好的最优解，但效率是极其低下的。为了能提高效率，可以不要枚举所有的结果，只枚举结果集中的一部分，如果某个解在这部分解中是最优的，那么就把它当成最优解。显然这样有可能不能得到真正的最优解，但效率却比穷举法高很多。
遗传退火就属于这种部分枚举算法。

用更数学的语言来解释：
模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以图1为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解A后，会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点，于是就跳出了局部最大值A。

模拟退火算法描述：
若J( Y(i+1) )>= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解)，则总是接受该移动
若J( Y(i+1) )< J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。（1953年metroplis的文献）
根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：
P(dE) = exp( dE/(kT) )
其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。这条公式说白了就是：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（否则就不叫退火了），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。
随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。
我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。

模拟退火算法伪代码

/** J(y)：在状态y时的评价函数值* Y(i)：表示当前状态* Y(i+1)：表示新的状态* r： 用于控制降温的快慢* T： 系统的温度，系统初始应该要处于一个高温的状态* T_min ：温度的下限，若温度T达到T_min，则停止搜索*/while( T > T_min ){　　dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) ) ; 　　if ( dE >=0 ) //表达移动后得到更优解，则总是接受移动Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动　　else　　{// 函数exp( dE/T )的取值范围是(0,1) ，dE/T越大，则exp( dE/T )也if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) )Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动　　}　　T = r * T ; //降温退火 ，0<r<1 。r越大，降温越慢；r越小，降温越快　　/*　　* 若r过大，则搜索到全局最优解的可能会较高，但搜索的过程也就较长。若r过小，则搜索的过程会很快，但最终可能会达到一个局部最优值　　*/　　i ++ ;}

举个例子：
1. 利用模拟退火和遗传算法求函数f(x)=2x2−x−1的最小值点，x∈[−1,1]，x的精度控制在0.001范围内。
采用遗传退火算法，使用MATLAB平台结果如图所示：

2. 利用模拟退火或遗传算法求其最佳加权系数。并画出有关波束图

3. TSP问题：假定一个推销员必须访问某区域里的N个村庄，他从第一号村庄出发走访其他N-1个村庄。如果村庄i和村庄j 之间的距离为dij ,那么他如何选择路线才能使他走的距离最近？给出其最佳化解决方法。

原始代码和说明文档在这里

所有的代码都运行通过，同行们可以看看一起讨论讨论。
遗传算法有很多可优化的地方，比如：
1. 为什么随机生成一个数来比较概率，然后抽样？有什么其他概率分布可以应用？
2. 阈值设置，初始温度设置，初始变量设置
等等问题都会影响到整个算法的运行效率和精确程度。

这也是接下来会考虑到的问题。