[JZOJ4870]涂色游戏

题目大意

给定一个n×m的网格。你要给网格涂色，总共有p种颜色选择。要求满足任意相邻两列，都总共出现了至少q种颜色。
计算方案数，答案对998244353取模。

n≤100,m≤109,q≤p≤100

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题目分析

不要被神秘的模数吓到了。
条件只是限制了相邻两列，因此考虑单独考虑两列的合法方案数。
可以发现，如果在某一列之前的都是合法方案，我们在计算这一列时只不需要关注每个位置具体涂了什么颜色，只需要关心前一列填了多少种颜色，后一列填了多少种颜色，又有多少种颜色是两列都出现的。
设fi,j表示设当前考虑到第i列，当前列出现了j种不同的颜色的方案数，且满足限制条件的方案数。
令gi,j表示前一列出现了i种不同的颜色，后一列出现了j种不同的颜色，这两列满足限制条件的方案数。
那么我们有

fi,j=∑k=1nfi−1,kgk,j

怎么求这个gi,j呢？枚举k表示两列共同出现的颜色个数，那么我们就有

gi,j=∑k=max(i+j−p,0)min(i,j,q)(ik)(p−ij−k)S(n,j)j!

其中S(n,j)是第二类Stirling数，表示将n个不同元素划分入j集合的方案数。递推式S(n,m)=S(n−1,m−1)+S(n−1,m)m。
这样的计算是O(n3+nm)的。
怎么优化呢？显然可以使用矩阵乘法优化f的计算，时间复杂度变为O(n3+n3log2m)。

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代码实现

#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>using namespace std;const int P=998244353;const int N=105;struct matrix{    int num[N][N];    int r,c;}f,one,zero;matrix operator*(matrix a,matrix b){    matrix ret;    memset(ret.num,0,sizeof ret.num);    ret.r=a.r,ret.c=b.c;    for (int i=0;i<ret.r;i++)        for (int j=0;j<ret.c;j++)            for (int k=0;k<a.c;k++)                (ret.num[i][j]+=1ll*a.num[i][k]*b.num[k][j]%P)%=P;    return ret;}matrix operator^(matrix x,int y){    matrix ret=zero;    for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;    return ret;}int C[N][N],h[N][N],fact[N];int n,m,p,q,ans;void calc(){    fact[0]=1;    for (int i=1;i<=p;i++) fact[i]=1ll*fact[i-1]*i%P;    C[0][0]=1;    for (int i=1;i<=p;i++)    {        C[i][0]=1;        for (int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%P;    }    h[0][0]=1;    for (int i=1;i<=n;i++)        for (int j=1;j<=i;j++)            h[i][j]=(1ll*h[i-1][j]*j%P+h[i-1][j-1])%P;    one.r=one.c=n;    for (int i=1;i<=n;i++)        for (int j=1;j<=n;j++)            for (int k=max(i+j-p,0);k<=i&&k<=j&&k<=i+j-q;k++)                (one.num[i-1][j-1]+=1ll*C[i][k]*C[p-i][j-k]%P*h[n][j]%P*fact[j]%P)%=P;    zero.r=zero.c=n;    for (int i=0;i<n;i++)        zero.num[i][i]=1;    f.r=1,f.c=n;    for (int i=1;i<=n&&i<=p;i++) f.num[0][i-1]=1ll*C[p][i]*h[n][i]%P*fact[i]%P;    f=f*(one^(m-1));    ans=0;    for (int i=1;i<=n;i++) (ans+=f.num[0][i-1])%=P;}int main(){    freopen("color.in","r",stdin),freopen("color.out","w",stdout);    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&p,&q);    calc();    printf("%d\n",ans);    fclose(stdin),fclose(stdout);    return 0;}