递归经典应用(整数的划分)
来源:互联网 发布:地砖设计软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/10 09:27
整数划分问题是算法中的一个经典命题之一,有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分,是指把一个正整数n写成如下形式:
n=m1+m2+...+mi; (其中mi为正整数,并且1 <= mi <= n),则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。
如果{m1,m2,…,mi}中的最大值不超过m,即max(m1,m2,…,mi)<=m,则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
例如但n=4时,他有5个划分,{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。
该问题是求出n的所有划分个数,即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;
1.递归法:
根据n和m的关系,考虑以下几种情况:
(1)当n=1时,不论m的值为多少(m>0),只有一种划分即{1};
(2)当m=1时,不论n的值为多少,只有一种划分即n个1,{1,1,1,…,1};
(3)当n=m时,根据划分中是否包含n,可以分为两种情况:
(a)划分中包含n的情况,只有一个即{n}; (b)划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n的所有(n-1)划分。 因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
(4)当n
#include<stdio.h>int s(int n,int m){ if(n==1||m==1) return 1; else if(n<m) return s(n,n); else if(n==m) return s(n,m-1)+1; else if(n>m) return s(n-m,m)+s(n,m-1);}int main(){ int n; while(~scanf("%d",&n)) { printf("%d\n",s(n,n)); } return 0;}
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