Intel Code Challenge Elimination Round (Div.1 + Div.2, combined)E. Research Rover （容斥Lucas）

题意： 
从(1,1)通过最短路径走到(n,m)，能量值为s，其中有k个特殊点，每经过一个特殊点能力值就会变成(s+1)/2，问最后能力值的期望值。 
思路： 
容易发现s减小的速度是很快的，最多20次就会变成1，因此我们算出经过0，1，2…20个特殊点的方案数，剩下的方案能力值都是1了。 
首先考虑经过0个特殊点的方案数，就是这个题，是个很经典的容斥了，首先按经过的顺序排序，如果从点a可以走到点b，那a就在b前面，然后就可以算出从（1，1）走到点（x，y）且不经过其他点的方案数，推一下就可以算出从（1，1）走到点（n，m）不经过特殊点的方案数了。 

可以发现这个题就是要算恰好经过k个点的方案数，按照上面的思路来就行。

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <algorithm>#include <string.h>#include <vector>using namespace std;typedef long long ll;typedef pair<int,int> pii;const int N = 2e5+5;ll fac[N], invfac[N];const ll mod = 1e9+7;ll qpow(ll a, ll k) {    ll res = 1;    while(k) {        if(k&1) res = (res*a)%mod;        a = (a*a)%mod;        k >>= 1;    }    return res;}void init(){    fac[0] = 1, invfac[0] = 1;    fac[1] = 1, invfac[1] = 1;    for(ll x = 2; x < N; ++x){        fac[x] = (fac[x-1]*x)%mod;        invfac[x] = qpow(fac[x], mod-2);    }}ll C(int n, int m) {    if(n < 0 || m < 0 || n < m) return 0;    else if(n == m) return 1;    else return fac[n]*invfac[m]%mod*invfac[n-m]%mod;}pii p[2005];inline bool cmp(const pii& a, const pii& b) {    return a.first+a.second < b.first+b.second;}ll cal(pii a, pii b) {    int x = b.first-a.first, y = b.second-a.second;    return C(x+y, x);}ll dp[2005][25];int main(int argc, const char * argv[]) {    init();    int n, m, k, s;    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &k, &s);    for(int i = 1; i <= k; ++i) {        scanf("%d %d", &p[i].first, &p[i].second);    }    p[0] = pii(1, 1);    p[++k] = pii(n, m);    sort(p, p+k+1, cmp);    dp[0][0] = 1, dp[1][0] = cal(p[0], p[1]);    for(int i = 2; i <= k; ++i) {        dp[i][0] = cal(p[0], p[i]);        for(int j = 1; j < i; ++j) {            dp[i][0] = (dp[i][0]-dp[j][0]*cal(p[j], p[i])%mod+mod)%mod;        }    }    for(int i = 1; i <= 20; ++i) {        for(int j = 0; j <= k; ++j) {            dp[j][i] = cal(p[0], p[j]);            for(int l = 0; l < i; ++l) {                dp[j][i] = (dp[j][i]-dp[j][l]+mod)%mod;            }            for(int l = 1; l < j; ++l) {                dp[j][i] = (dp[j][i]-dp[l][i]*cal(p[l], p[j])%mod+mod)%mod;            }        }    }    ll ans = 0, tot = cal(p[0], p[k]);    for(int i = 0; i <= 20; ++i, s = (s+1)/2) {        ans = (ans+dp[k][i]*s%mod)%mod;        tot = (tot-dp[k][i]+mod)%mod;    }    ans = (ans+tot)%mod;    ans = ans*qpow(cal(p[0], p[k]), mod-2)%mod;    printf("%lld\n", ans);    return 0;}