剩下的那五分之一是在这里么？

写这个博客的原由

　　最近在学堂在线上学习概率论，每个视频学完后，会跟随着有几个小习题。这次是刚学完条件概率，后面有个习题把我绕住了，题目是这样的：

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物，血液结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没有患病。下面是两种化验方案：
　　方案甲：逐个化验，知道能确定患病动物为止。
　　方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，知道能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验。
　　
问题：（1）、求方案甲所需化验次数为2次的概率；
　　　（2）、求方案乙所需化验次数为2次的概率；
　　　（3）、求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率。

　　写这篇博客的目的不是想写这个题的解题过程，而是想说说我在做这个题的时候的一些困惑和想法，一者让自己印象深刻一些，二者把自己的想法抛出来，若有问题还有人可以批评指正。所以就不一一答题了，答案我放在最后，如果爱思考的你做完了，可以看看你做对了没有。（傻傻的我都做对了，你肯定没有问题的。）
　　

傻傻想不清楚的地方

　　就拿方案甲来说吧，化验的次数Ｘ可以为１／２／３／４次（没有５，原因下面会说），那么它们的概率分别为

P(X=1) = 15　（从５只中任取一只，验出）
P(X=2) = (1−15)∗14 = 45∗14 = 15　（第１次没验出来的条件下，从剩下的４只中任取一只，验出）
P(X=3) = (1−15)∗(1−14)∗13 = 45∗34∗13 = 15　（第１次和第２次都没有验出来的条件下，从剩下的３只中任取一只，验出）
同理
P(X=4) = 15　（前３次都没有验出，从剩下的２只中任取一只，验出）
没有５的原因：如果第４次也没有验出，那患病的肯定就是剩下的那只了，所以不用验第５次，最多验４次就可以知道患病的那只了。
那么问题来了，P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 45 ≠ 1，那剩下的 15 到哪去了？

剩下的那五分之一是在这里么？

　　按照上面的分析， P(X=1) = 15， P(X=２) = 15， P(X=３) = 15， P(X=４) = 15， 那就应该也有P(X=５) = 15。只是在第４次化验的时候有两种情况，验出和没验出，验出的概率是 15 ，没验出的话，在第５次验出的概率也是 15 ，而这里把第５次化验省去了，所以应该把第５次的概率加在第４次上面。因此，P(X=４) = 25，这样则满足

P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1

　　所以那剩下的 15 就是在这里了吧，同样也可以解决方案乙中的那 15 ，最后就可以搞定这个题目了。应该没有想错吧，哈哈～～若发现错误，还请指出及批评。

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上面问题的答案

（１）　15

（２）　25 + 35∗13 = 35

（３）　15 + 25 + 35∗15 = 1825 = 0.72