再论EM算法的收敛性和K-Means的收敛性

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（最近被一波波的笔试+面试淹没了，但是在有两次面试时被问到了同一个问题：K-Means算法的收敛性。在网上查阅了很多资料，并没有看到很清晰的解释，所以希望可以从K-Means与EM算法的关系，以及EM算法本身的收敛性证明中找到蛛丝马迹，下次不要再掉坑啊。。）

EM算法的收敛性

1.通过极大似然估计建立目标函数：

l(θ)=∑mi=1log p(x;θ)=∑mi=1log∑zp(x,z;θ)

通过EM算法来找到似然函数的极大值，思路如下：
希望找到最好的参数θ，能够使最大似然目标函数取最大值。但是直接计算 l(θ)=∑mi=1log∑zp(x,z;θ)比较困难，所以我们希望能够找到一个不带隐变量z的函数γ(x|θ)≤l(x,z;θ)恒成立，并用γ(x|θ)逼近目标函数。
如下图所示：

• 在绿色线位置，找到一个γ函数，能够使得该函数最接近目标函数，
  
  • 固定γ函数，找到最大值，然后更新θ,得到红线；
• 对于红线位置的参数θ：
  
  • 固定θ，找到一个最好的函数γ，使得该函数更接近目标函数。
    重复该过程，直到收敛到局部最大值。

2. 从Jensen不等式的角度来推导

令Qi是z的一个分布，Qi≥0，则：

l(θ)=∑mi=1log∑z(i)p(x(i),z(i);θ)
=∑mi=1log∑z(i)Qi(z(i))p(x(i),z(i);θ)Qi(z(i))
≥∑mi=1∑z(i)Qi(z(i))logp(x(i),z(i);θ)Qi(z(i))

(对于log函数的Jensen不等式)

3.使等号成立的Q

尽量使≥取等号，相当于找到一个最逼近的下界：也就是Jensen不等式中，f(x1)+f(x2)2≥f(x1+x22)，当且仅当x1=x2时等号成立(很关键)。

对于EM的目标来说：应该使得log函数的自变量恒为常数，即：
p(x(i),z(i);θ)Qi(z(i))=C
也就是分子的联合概率与分母的z的分布应该成正比，而由于Q是z的一个分布，所以应该保证∑zQi(z(i))=1
故Q=pp对z的归一化因子

Qi(z(i))=p(x(i),z(i);θ)∑zp(x(i),z(i);θ)
=p(x(i),z(i);θ)p(x(i);θ)=p(z(i)|x(i);θ)

4.EM算法的框架

由上面的推导，可以得出EM的框架：

回到最初的思路，寻找一个最好的γ函数来逼近目标函数，然后找γ函数的最大值来更新参数θ:
* E-step: 根据当前的参数θ找到一个最优的函数γ能够在当前位置最好的逼近目标函数；
* M-step: 对于当前找到的γ函数，求函数取最大值时的参数θ的值。

K-Means的收敛性

通过上面的分析，我们可以知道，在EM框架下，求得的参数θ一定是收敛的，能够找到似然函数的最大值。那么K-Means是如何来保证收敛的呢？

目标函数

假设使用平方误差作为目标函数：
J(μ1,μ2,...,μk)=12∑Kj=1∑Ni=1(xi−μj)2

E-Step

固定参数μk, 将每个数据点分配到距离它本身最近的一个簇类中：

γnk={1,0,if k=argminj||xn−μj||2 otherwise

M-Step

固定数据点的分配，更新参数（中心点）μk:
μk=∑nγnkxn∑nγnk

所以，答案有了吧。为啥K-means会收敛呢？目标是使损失函数最小，在E-step时，找到一个最逼近目标的函数γ；在M-step时，固定函数γ，更新均值μ（找到当前函数下的最好的值）。所以一定会收敛了~