相关分析

假设检验

分布检验

位置检验

弥散试验

Ansari-Bradley

在matlab中，可使用ansaribradley进行Ansari-Bradley检验。

Bartlett’s test

巴特利特球形（Bartlett’s test）检验用来对虚假设进行检验。它以变量的相关系数矩阵为出发点。它的零假设相关系数矩阵是一个单位阵，即相关系数矩阵对角线上的所有元素都是1，所有非对角线上的元素都为零。巴特利特球形检验的统计量是根据相关系数矩阵的行列式得到的。如果该值较大，且对应的相伴概率值小于用户心中的显著性水平，那么应该拒绝零假设，认为相关系数不可能是单位阵，即原始变量之间存在相关性，适合于作因子分析；相反，则不适合作因子分析。
Bartlett统计检验的数据表达式为：

χ2=(N−k)ln(S2p)−∑ki=1(ni−1)ln(S2i)1+13(k−1)(∑ki=1(1ni−1)−1N−k)

其中，第k个样本的大小为ni，其样本方差为S2i；N=∑i=1kni，S2p=1N−k∑i(ni−1)S2i是方差的联合估计。
在matlab中使用Barttest函数来进行Bartlett检验。

方差分析

方差分析(ANOVA)是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。

数据降维

特征变换技术通过将数据变换到新的特征来降低数据的维数。
当变量变换不可行时（如数据中的分类变量），特征选择技术更加适合。特征选择技术特别适合于最小二乘拟合。

因子分析（Factor analysis）

在Matlab中可使用factoran来进行因子分析。

回归算法

岭回归

岭回归(英文名:ridge regression, Tikhonov regularization)是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的拟合要强于最小二乘法。
当XTX的行列式接近于0时，我们将其主对角元素都加上一个数k，可以使XTX奇异的风险大大降低。于是：

B(k)=(XTX+kI)−1XTY

随着k的增大，B(k)中各元素bi(k)的绝对值均趋于不断变小，它们相对于正确值bi的偏差也越来越大。k趋于无穷大时，B(k)趋于0。b(k)随k的改变而变化的轨迹，就称为岭迹。实际计算中可选非常多的k值，做出一个岭迹图，看看这个图在取哪个值的时候变稳定了，那就确定k值了。

经典的线性相关分析方法难以有效探测数据的内丰结构与规律，基于互信息的度量准则，由于其具有能够有效刻画非线性相关系数的优势，而日益受到重视。
考虑有n个可能结果的随机变量X，其概率分布为P(X=xi)=pi,i=12,...,n。则其信息熵的定义为H(X)=−∑i=1npilogpi。
Suppose that the joint probability of the stochastic variables (X,Y) is pij, the two-dimensional entropy of (X,Y) is

H(X,Y)=−∑i=1n∑j=1mpijlogpij

Suppose that the marginal distribution of X and Y repectively are pi and pj˙, the conditional entropy X under the conditon of kowning Y can be defined as

H(X/Y)=−∑i=1n∑j=1mpijlogpijp⋅j

similarity, the conditional entropy of Y under the conditon of kowning X can be defined as

H(Y/X)=−∑i=1n∑j=1mpijlogpijpi⋅

信息论认为，系统越有序，则信息熵越小；相反地，系统越混乱，则信息熵越大．因此，信息熵可以作为系统不确定性程度（或者说有序化程度）的度量标准．
最大信息系数(MIC) 传统的相关系数往往是针对特定的函数类型（如线性、指数、周期性函数）测量变量之间的相关性程度，而最大信息系数可测量任何函数形式的相关性，所以最大信息系数具有通用性；对于具有相等最大信息系数取值的不同函数形式的数据而言，当给予同等程度的噪音，最大信息系数的取值仍然保持相等，所以最大信息系数具有均等性。
计算MIC可以使用minepy包，这个包有matlab、python和r版本，这个包可以到它的官网上进行下载。
相应的python例程1：

import numpy as npfrom minepy import MINEdef print_stats(mine):    print "MIC", mine.mic()x = np.linspace(0, 1, 1000)y = np.sin(10 * np.pi * x) + xmine = MINE(alpha=0.6, c=15)mine.compute_score(x, y)print "Without noise:"print_stats(mine)printnp.random.seed(0)y +=np.random.uniform(-1, 1, x.shape[0]) # add some noisemine.compute_score(x, y)print "With noise:"print_stats(mine)

python例程2：

from __future__ import divisionimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom minepy import MINEdef mysubplot(x, y, numRows, numCols, plotNum,              xlim=(-4, 4), ylim=(-4, 4)):    r = np.around(np.corrcoef(x, y)[0, 1], 1)    mine = MINE(alpha=0.6, c=15)    mine.compute_score(x, y)    mic = np.around(mine.mic(), 1)    ax = plt.subplot(numRows, numCols, plotNum,                     xlim=xlim, ylim=ylim)    ax.set_title('Pearson r=%.1f\nMIC=%.1f' % (r, mic),fontsize=10)    ax.set_frame_on(False)    ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)    ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)    ax.plot(x, y, ',')    ax.set_xticks([])    ax.set_yticks([])    return axdef rotation(xy, t):    return np.dot(xy, [[np.cos(t), -np.sin(t)],                       [np.sin(t), np.cos(t)]])def mvnormal(n=1000):    cors = [1.0, 0.8, 0.4, 0.0, -0.4, -0.8, -1.0]    for i, cor in enumerate(cors):        cov = [[1, cor],[cor, 1]]        xy = np.random.multivariate_normal([0, 0], cov, n)        mysubplot(xy[:, 0], xy[:, 1], 3, 7, i+1)def rotnormal(n=1000):    ts = [0, np.pi/12, np.pi/6, np.pi/4, np.pi/2-np.pi/6,          np.pi/2-np.pi/12, np.pi/2]    cov = [[1, 1],[1, 1]]    xy = np.random.multivariate_normal([0, 0], cov, n)    for i, t in enumerate(ts):        xy_r = rotation(xy, t)        mysubplot(xy_r[:, 0], xy_r[:, 1], 3, 7, i+8)def others(n=1000):    x = np.random.uniform(-1, 1, n)    y = 4*(x**2-0.5)**2 + np.random.uniform(-1, 1, n)/3    mysubplot(x, y, 3, 7, 15, (-1, 1), (-1/3, 1+1/3))    y = np.random.uniform(-1, 1, n)    xy = np.concatenate((x.reshape(-1, 1), y.reshape(-1, 1)), axis=1)    xy = rotation(xy, -np.pi/8)    lim = np.sqrt(2+np.sqrt(2)) / np.sqrt(2)    mysubplot(xy[:, 0], xy[:, 1], 3, 7, 16, (-lim, lim), (-lim, lim))    xy = rotation(xy, -np.pi/8)    lim = np.sqrt(2)    mysubplot(xy[:, 0], xy[:, 1], 3, 7, 17, (-lim, lim), (-lim, lim))    y = 2*x**2 + np.random.uniform(-1, 1, n)    mysubplot(x, y, 3, 7, 18, (-1, 1), (-1, 3))    y = (x**2 + np.random.uniform(0, 0.5, n)) * \        np.array([-1, 1])[np.random.random_integers(0, 1, size=n)]    mysubplot(x, y, 3, 7, 19, (-1.5, 1.5), (-1.5, 1.5))    y = np.cos(x * np.pi) + np.random.uniform(0, 1/8, n)    x = np.sin(x * np.pi) + np.random.uniform(0, 1/8, n)    mysubplot(x, y, 3, 7, 20, (-1.5, 1.5), (-1.5, 1.5))    xy1 = np.random.multivariate_normal([3, 3], [[1, 0], [0, 1]], int(n/4))    xy2 = np.random.multivariate_normal([-3, 3], [[1, 0], [0, 1]], int(n/4))    xy3 = np.random.multivariate_normal([-3, -3], [[1, 0], [0, 1]], int(n/4))    xy4 = np.random.multivariate_normal([3, -3], [[1, 0], [0, 1]], int(n/4))    xy = np.concatenate((xy1, xy2, xy3, xy4), axis=0)    mysubplot(xy[:, 0], xy[:, 1], 3, 7, 21, (-7, 7), (-7, 7))plt.figure(facecolor='white')mvnormal(n=800)rotnormal(n=200)others(n=800)plt.tight_layout()plt.show()