哈夫曼树和哈夫曼编码

原文参照：http://blog.csdn.net/bruce_6/article/details/38656413

1.基本概念

节点之间的路径长度：在树中从一个结点到另一个结点所经历的分支，构成了这两个结点间的路径上的经过的分支数称为它的路径长度

树的路径长度：从树的根节点到树中每一结点的路径长度之和。在结点数目相同的二叉树中，完全二叉树的路径长度最短。

结点的权：在一些应用中，赋予树中结点的一个有某种意义的实数。

结点的带权路径长度：结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积。

树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree：WPL)：定义为树中所有叶子结点的带权路径长度之和

最优二叉树是带权路径长度最短的二叉树

WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35

2.构造哈夫曼树的思路

1）给定n个权值分别为{w1,w2,w3,……}的二叉树{T1，T2，T3，……}，其中每棵二叉树只有一个权值为wi 的根节点，其左右子树都为空；

2）从森林中取出两棵根节点的权值最小的二叉树，作为一棵新的二叉树的左右子树，且令新的二叉树的根节点的权值为其左右子树的权值和；

3）从F中删除被选中的那两棵子树，并且把构成的新的二叉树加到F森林中

4）重复2 ，3 操作，直到森林只含有一棵二叉树为止，此时得到的这棵二叉树就是哈夫曼树

3.哈夫曼编码

对一串报文abcdabcaba”进行编码，可以先统计出a、b、c、d4个字符，出现次数分别为4、3、2、1

将a、b、c、d以出现次数为权值构造哈夫曼树

从哈夫曼树根节点开始，对左子树分配代码“0”，对右子树分配“1”，一直到达叶子节点。

如图：

a、b、c、d的编码分别为0、10、110、111

报文“abcdabcaba”转换为对应的二进制码就是0101101110101100100，这就是哈夫曼编码