uva10943 How do you add?（隔板法+递推）

题意：把一个数n分解成k个数相加的形式（允许有0）。

感受：本来以为组合数学题自己还是懂的一点点的，没想到啊！！高中组合数学都还给金进啦！一开始看了公式还是一头雾水（就很不爽），找了很久的解释，终于找到了详细的解释。智商仿佛在降低，看来要多补补了，哈哈哈哈哈哈哈！

大神说：很裸的隔板法。


引用一下维基上对隔板法的解释：

现在有10个球，要放进3个盒子里

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隔2个板子，把10个球被隔开成3个部份

●|●|●●●●●●●●、●|●●|●●●●●●●、●|●●●|●●●●●●、●|●●●●|●●●●●、●|●●●●●|●●●●、●|●●●●●●|●●●、......
如此类推，10个球放进3个盒子的方法总数为\binom {10-1}{3-1}=\binom {9}{2}=36

n个球放进k个盒子的方法总数为\binom {n-1}{k-1}

问题等价于求x_1+x_2+...+x_k=n的可行解数，其中x_1,x_2,...,x_k为正整数。

**如果允许有空盒子**：

现在有10个球，要放进3个盒子里，并允许空盒子。考虑10+3个球的情况：

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从3个盒子里各拿走一个，得到一种情况，如此类推：

||●●●●●●●●●●、|●|●●●●●●●●●、|●●|●●●●●●●●、|●●●|●●●●●●●、|●●●●|●●●●●●、......
n个球放进k个盒子的方法总数（允许空盒子）为\binom {n+k-1}{k-1}[2]

问题等价于求x_1+x_2+...+x_k=n的可行解数，其中x_1,x_2,...,x_k为非负整数。

\binom {n+k-1}{k-1}也是(a_1+a_2+...+a_k)^n展开式的项数，这是因为展开后每一项肯定是a1^x1*a2^x2*......*ak^xk,而且x1+x2+...+xk=n.那就转化为上面那个问题了。

另一种变形：

减少球数用隔板法 　　

    将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。　　

    分析：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个无区别的球,问题等价于将14个球放入4个编号为1,2,3,4的四个盒子里，每个盒子至少有一个球的问题。

   剩下14个无区别的球排成一列，共形成13个空，可以理解为有3块隔板，将排成一列的球隔成4段，每段至少1个，有C3/13=286（种）。　

如果不用隔板法，亦可以递推来做：
按最后一个加上的数是几来分类，ans[n][k]=ans[n-1][k]+ans[n][k-1].其中ans[n][k-1]是最后一个加0，ans[n-1][k]是最后一位加的不是0.

隔板法：

#include <iostream>#include <cstdlib>#include <cstdio>using namespace std;int C[201][201];int main(){for ( int i = 0 ; i < 201 ; ++ i )for ( int j = 0 ; j < 201 ; ++ j )C[i][j] = 0;for ( int i = 0 ; i < 201 ; ++ i )C[i][0] = 1;for ( int i = 1 ; i < 201 ; ++ i )for ( int j = 1 ; j <= i ; ++ j )C[i][j] = (C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%1000000;int n,m;while ( scanf("%d%d",&n,&m) && n+m )printf("%d\n",C[n+m-1][m-1]);return 0;}

递推法：

#include <iostream>#include <cstdlib>#include <cstdio>using namespace std;int F[101][101];int main(){for ( int i = 0 ; i < 101 ; ++ i )for ( int j = 0 ; j < 101 ; ++ j )F[i][j] = 0;for ( int i = 0 ; i < 101 ; ++ i )F[1][i] = 1;for ( int i = 1 ; i < 101 ; ++ i )for ( int j = 0 ; j < 101 ; ++ j )for ( int k = 0 ; k <=  j ; ++ k )F[i][j] = (F[i][j]+F[i-1][j-k])%1000000;int n,m;while ( scanf("%d%d",&n,&m) && n+m )printf("%d\n",F[m][n]);return 0;}