帮你理解积分与求导到底是什么

求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

先来说导数：

导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。

一阶导数几何意义：曲线在某一点的变化率—斜率；

二阶导数几何意义--斜率的变化率，又可以用来判断曲线的凹凸性；

三阶导数几何意义--斜率的变化率的变化率；……。

高阶导数是对曲线随x变化而变化的速度的大小、快慢的刻画，并随着阶数的增加，这种刻画也就越来越精确，这一点可从泰勒公式中看出。

接下来说说积分

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。

不定积分

积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。

用公式表示是:

定积分

而相对于不定积分，还有定积分。所谓定积分，其形式为

  

。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

定积分的定义式为：

其中，

  

为分点。

直观地说，对于一个给定的正实值函数

  

在一个实数区间

  

上的定积分

  

可以理解为在坐标平面上，由曲线

  

、直线

  

以及

  

轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分写成积分的形式呢？

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：

如果

 

那么

 

但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。虽然这种写法是可以的，但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：

牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。

正这个理论揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学乃至整个高等数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

现在没时间了，之后我会补充关于其他的比如卷积和傅里叶变换等知识。