次导数 次梯度 小结
来源:互联网 发布:淘宝首页宝贝分类代码 编辑:程序博客网 时间:2024/06/10 05:38
1.导数(Derivative)的定义
在说次梯度之前,需要先简单介绍一下导数的概念与定义。导数(英语:Derivative)是微积分学中重要的基础概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
对于一般的函数
如果不使用增量,
2.次导数(subderivative)
次导数(subderivative)、次微分(subdifferential)、次切线(subtangent lines)和次梯度(subgradient)的概念出现在凸分析,也就是凸函数的研究中。
设f:I→R是一个实变量凸函数,定义在实数轴上的开区间内。这种函数不一定是处处可导的,例如最经典的例子就是
3.次导数与次微分(subdifferential)计算方式
凸函数f:I→R在点x0的次导数,是实数c使得:
对于所有I内的x。我们可以证明,在点x0的次导数的集合是一个非空闭区间[a, b],其中a和b是单侧极限
它们一定存在,且满足a ≤ b。
所有次导数的集合
例如:考虑凸函数
4.性质及推广
1.凸函数f:I→R在x0可导,当且仅当次微分只由一个点组成,这个点就是函数在
2.点
5.次梯度
次导数和次微分的概念可以推广到多元函数。如果f:U→ R是一个实变量凸函数,定义在欧几里得空间Rn内的凸集,则该空间内的向量v称为函数在点x0的次梯度,如果对于所有U内的x,都有:
所有次梯度的集合称为次微分,记为
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