CodeForces 160D Edges in MST 题解

[题意]

      给出一个n个点m条边的无向连通图,判断图中每条边是否一定在最小生成树上.

     n,m<=100000.

[思路]

由于最小生成树的性质,我们造出任意一棵最小生成树,并记录下与最小生成树权值相等的所有边.

暴力版:

沿着非树边x的两个端点走到它们的lca,在环上去找与x权值相同的边,如果找到,说明被替换的边和x都不一定在最小生成树上.

暴力做法优化版:

这里又有一个结论:

如果x能替换边y,那么y一定是x在最小生成树上组成的环中权值最大的边.那么我们只要把边按照边权值从小到大排序,再用并查集路径压缩,(类似删边最小生成树的做法),可以更高效.

“桥”版:

题目中提到了”一定在最小生成树上的边”,也就是说没有这条边,最小生成树就不会联通,这就和”桥”的概念很像.如何判断每条边呢?

我们按照kruskal算法,按照边权值枚举边,并查集判断联通情况,把权值相同的边放在一起:如果有一条边(权值为x)在加入树之前,两个端点已经并在一个集合里,说明有更小的边权就能使两点联通,那么这条边一定是无效的.

现在我们要判断的就是桥边了.

我们把权值为x的所有边(除了无效边)加入目前的图里,对于每一个联通块, 用tarjan算法判断桥边.再把权值为x的每条边用并查集合并到联通块里.

暴力版:

<span style="font-size:18px;">#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<vector>#define ll long longusing namespace std;inline void rd(int &res){    res=0;char c;    while(c=getchar(),c<48);    do{        res=(res<<1)+(res<<3)+(c^48);    }while(c=getchar(),c>=48);}inline void print(int k){    if(k==0)return ;    print(k/10);    putchar((k%10)^48);}inline void sc(int k){    print(k);    if(k==0)putchar('0');    putchar('\n');}const int M=1e5+5;const int oo=1e9;const int S=18;int L[M],R[M],dep[M],fa[M],cnt[M],ans[M],T=0,n,m,mark[M],eid[M],rfa[M][S],flag=0;vector<int>e[M],out[M];struct node{    int id,a,b,c;}ed[M];bool cmp(node a,node b){    return a.c<b.c;}int get(int x){    if(fa[x]!=x)fa[x]=get(fa[x]);    return fa[x];}void dfs(int x,int f,int d){    dep[x]=d;    L[x]=++T;    rfa[x][0]=f;    for(int i=0;i<e[x].size();i++){        int y=e[x][i];        if(y==f)continue;        dfs(y,x,d+1);    }    R[x]=T;}void UP(int &a,int step){    for(int i=S-1;i>=0;i--){        if(step&(1<<i))a=rfa[a][i];    }}int LCA(int a,int b){    if(a==b)return a;    if(dep[a]<dep[b])swap(a,b);    UP(a,dep[a]-dep[b]);    if(a==b)return a;    for(int i=S-1;i>=0;i--){        if(rfa[a][i]!=rfa[b][i])a=rfa[a][i],b=rfa[b][i];    }    return rfa[a][0];}void walk(int a,int lca,int id){    while(a!=lca){        if(ed[eid[a]].c==ed[id].c){            flag=1;ans[ed[eid[a]].id]=0;        }        a=rfa[a][0];    }}void chk(int id){    int a=ed[id].a,b=ed[id].b,c=ed[id].c;    int lca=LCA(a,b);    flag=0;    walk(a,lca,id);    walk(b,lca,id);    if(flag)ans[ed[id].id]=0;}int main(){    int i,j,k,a,b,c,mx=oo,tot=0,pre=-1;    scanf("%d %d",&n,&m);    for(i=1;i<=m;i++){        rd(a);rd(b);rd(c);        ed[i]=(node){i,a,b,c};        ans[i]=2;    }    for(i=1;i<=n;i++)fa[i]=i,cnt[i]=1;    sort(ed+1,ed+1+m,cmp);    for(i=1;i<=m;i++){        int a=ed[i].a,b=ed[i].b,c=ed[i].c;        int x=get(a),y=get(b);        if(c>mx)break;        if(c!=pre){pre=c;tot++;}        if(x!=y){            fa[x]=y;            cnt[y]+=cnt[x];            e[a].push_back(b);            e[b].push_back(a);            mark[i]=1;            ans[ed[i].id]=1;            if(cnt[y]==n)mx=c;        }    }    dfs(1,0,0);    for(i=1;i<S;i++){        for(j=1;j<=n;j++)rfa[j][i]=rfa[rfa[j][i-1]][i-1];    }    for(i=1;i<=m;i++){        int a=ed[i].a,b=ed[i].b;        if(rfa[a][0]==b||rfa[b][0]==a){            int x=a;            if(dep[b]>dep[a])x=b; eid[x]=i;        }    }    for(i=1;i<=m;i++){        if(ed[i].c>mx)break;        if(!mark[i])chk(i);    }    for(i=1;i<=m;i++)sc(ans[i]);    return 0;<span style="font-family:Comic Sans MS;">}</span></span>

<span style="font-size:18px;">#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>using namespace std;const int M=100005;int ans[M],low[M],dfn[M],head[M],n,m,fa[M],tot=0,timestamp=0;struct node{    int to,nex,id;}e[M*2];struct edge{    int a,b,c,id;}ed[M];inline void rd(int &res){    res=0;    char c;    while(c=getchar(),c<48);    do res=(res<<3)+(res<<1)+(c^48);        while(c=getchar(),c>47);}void print(int x){    if(x==0)return ;    print(x/10);    putchar((x%10)^48);}void sc(int x){    print(x);    if(x==0)putchar('0');    putchar('\n');}bool cmp(edge a,edge b){    return a.c<b.c;}int get(int x){    if(fa[x]!=x)fa[x]=get(fa[x]);    return fa[x];}void dfs(int x,int id){    dfn[x]=low[x]=++timestamp;    for(int i=head[x];~i;i=e[i].nex){        int to=e[i].to,eid=e[i].id;        if(dfn[to]==0){            dfs(to,i);            low[x]=min(low[x],low[to]);            if(low[to]>dfn[x])ans[eid]=1;//是桥边 ,一定会在最小生成树中         }        else if(dfn[to]<dfn[x]&&i!=(id^1))low[x]=min(low[x],low[to]);    }    //printf("%d %d %d\n",x,dfn[x],low[x]);}void add_edge(int a,int b,int id){//a,b之间加一条边 无向边要加两次     e[tot]=(node){b,head[a],id};    head[a]=tot++;}void get_union(int a,int b){    a=get(a);b=get(b);    if(a!=b)fa[a]=b;}int main(){    int i,j,k,a,b,c,en;    rd(n);rd(m);    for(i=1;i<=m;i++){        rd(a);rd(b);rd(c);        ed[i]=(edge){a,b,c,i};    }    sort(ed+1,ed+1+m,cmp);    for(i=1;i<=n;i++)fa[i]=i,head[i]=-1;    for(i=1;i<=m;i++){        for(j=i;j<=m;j++){            if(ed[j+1].c!=ed[i].c)break;        }        en=j;        for(j=i;j<=en;j++){            ed[j].a=a=get(ed[j].a);            ed[j].b=b=get(ed[j].b);            dfn[a]=0;dfn[b]=0;            low[a]=0;low[b]=0;            head[a]=-1;head[b]=-1;        }        for(j=i;j<=en;j++){            a=ed[j].a;b=ed[j].b;                if(a==b){ans[ed[j].id]=2;continue;}            add_edge(a,b,ed[j].id);            add_edge(b,a,ed[j].id);        }        for(j=i;j<=en;j++){            if(!dfn[ed[j].a])dfs(ed[j].a,-1);            if(!dfn[ed[j].b])dfs(ed[j].b,-1);        }        for(j=i;j<=en;j++){get_union(ed[j].a,ed[j].b);}        i=en;    }    for(i=1;i<=m;i++)sc(ans[i]);    return 0;}</span>

20160627离线赛/CodeForces 160D