手机卡计费方式的分析与选择

 

教    材：    高等教育出版社中等职业教育国家规划教材

   《数学》(提高版)第三章函数

授课教师：    云南省昆明市财经商贸学校    张映芳

 

 

一、教学内容的地位

    本课题是在学习了函数的图象和。性质的基础上，进行的一节探究式的课堂教学。在一个具体问题的解决过程中，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辨证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成。

二、教学目标

    教学目标是教学的出发点和归宿，因此根据教学大纲的要求，以学生的认知点，心理特点和本课的特点制定教学目标如下：

    1、知识目标

    通过建立函数模型，能解决简单的实际问题。

    2、素质目标

    培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度；提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力。

    3、情感目标

    激发学生学习数学的热情，坚定克服困难的信心，享受解决实际问题带来的成功喜悦。

三、学生情况分析

  　学习了函数及分段函数后，学生对函数知识有了一定的基础，但只是停留在单纯的解数学题上，将函数知识用于解决实际生活中的问题，是学生所欠缺的。为此，课题既要贴近生活实际，又要密切结合数学探求，在知识的实际应用中，使学生体会到数学之美。

四、教学重点、难点及关键

  　依据教学大纲、教学目标及学生已掌握的知识情况，结合本节课的内容在整章的地位和作用确定教学重点、难点及关键如下：

1、重点：建立数学模型的基本方法和提高解决实际问题的能力。

  　2、难点：既要注重问题的深刻性，又要避免问题的繁杂性；既要贴近生活实际，又要密切结合数学探求。

  　3、关键：激发学生思考、促进知识迁移。

五、教学方法

  　在建构主义的教学理论指导下，采用“任务驱动教学法”，让学生在“带着任务自主学习”的探究模式下实现知识的建构。从而突出了本节课的重点。同时“任务驱动教学法’’既要给学生充分的自主认知的时间、空间，又要给学生提供必要的支持，使学生在调查的过程中始终处于积极的主体地位。在探索式的学习环境中，生动的教学情景开阔了学生的视野，使学生能在自愿、快乐和积极的环境中求知，真正获得能力的提高，从而突破了难点。

六、教学辅助手段

调查表，计算机与多媒体教学课件。

七、教学过程

  　(一)课前调查，获得感知

    1、确定课题

为突破“既要贴近生活实际，又要密切结合数学探求”这一难点，课前确立了多个课题在学生中调查，以获得他们既感兴趣、又有数学探求价值的课题。

班级调查表

课    题	拟选课题(请选择)
(1)手机的计费方式与话费
(2)商品的价格与利润
(3)投资成本与收益
(4)商品供应与需求

    在确定课题的调查中，学生的表现始终都很积极、踊跃，调查结果是多数学生对手机的计费方式与话费较感兴趣，最终决定以手机的计费方式与话费作为研究课题。

2、实际调查

课前布置学生以查阅资料或实地走访的方式调查以下问题：

    (1)收集中国移动现有的手机话费卡的种类及其计费情况；

    (2)如果要在众多的卡中作选择，你要考虑的第一要素是什么?

    (3)销量较大的卡是否就是适合自己的卡?

    (4)你打算每月支付的手机话费是多少元?

    在探索式的学习中，调查不仅是为了完成任务，更重要的是使学生有了对知识探索和思考的过程。面。对市场中五花八门的计费卡，到底如何选择呢?学生们课前的讨论热烈而没有一个统一的结果，最后他们盼望着与老师一起来解决这个问题。

    (二)课堂教学，师生合作探究

    1、课前调查结果反馈。

    以提问的方式进行。

    2、设计信息资源，提出问题

    (1)确定研究课题

    在学生收集到的多种手机卡中，选择目前销量较好的神州大众卡、移动69卡以及移动29卡的计费方式作为本节课的研究对象。

    (2)数据处理

    备注：

    在数据处理过程中，计费情况考虑的变量为本地通话时间，短消息使用费、长话费及漫游费等，在此次课题研究中暂不作考虑。

手机卡   计费情况	神州大众卡	移动29卡	移动69卡
月租套餐费	无	29元／月	69元／月
基本费额时限	本地网内通话 0.3元／分钟	含150分钟本地 网内通话时间	含508分钟本地 网内通话时间
超时计费标准	无	拨打，接听均为 0.3元／分钟	拨打，接昕均为 0.2元／分；

    (3)提出问题

    如果在三种卡中作选择，究竟选择哪种卡最实惠?

    3、自主学习探究，得到猜想

    (1)分小组讨论学习第一组：分析神州大众卡计费方式的优缺点及适合的人群；第二组：分析移动29卡计费方式的优缺点及适合的人群；第三组：分析移动69卡计费方式的优缺点及适合的人群；第四组：提出初步选择方案，并说明理由。

    在建构性的学习乖教学中，教师提出能激发思考的问题后，先保留自己的看法，引导学生形成自己的意见。每个学生都有自己的经验世界，通过小组讨论、意见交流、合作学习，让学生的学习自主性完全展示出来。

    (2)小组合作学习结果汇报

    在整个汇报的过程中，应耐心地聆听学生的发言并给予鼓励，’让每个学生都能自由的、大胆地参与探索和交流。洞察他们的想法的由来，看到其合理性乖局限性，然后再提供相应的指导，引导学生看到

与其观点相矛盾的观点和事实。

    由寻找实际问题的解决方案所碰到的难题，引出通过建立数学模型来解决问题的办法。

    通过小组的交流与学习汇报，激发了学生的兴趣，课堂气氛热烈而活跃，学生已基本进入了配合教师教学的良好状态。

    4、师生合作建立数学模型，分析评估

    先由各小组利用所学过的函数及分段函数的知识自己列出函数的解析式。

    (1)设手机卡每月的使用时间是t(分钟)，每月的话费用为y(元)，三种手机卡在一个月内的使用时间与费用的函数关系式为：

备注：通话时间t是整数，由取整得到的结果。

(2)在同一坐标系内作函数图象并求出三个图象的关键交点：

(3)师生共同分析评估

a、神州大众卡：当f∈[0，96]时，使用话费最低，日平均通话3分钟；

b、移动29卡：当f∈(96,283)时，该卡最实惠，日平均通话3～9分钟；

c、移动69卡：当f∈(283，+∞)时，即日平均使用9分钟以上。

    选择以上三种手机卡进行研究，教会学生的不是单纯的一组结果，更重要的是使学生获得解决问题的方法。通过学生的主动探究，从猜想到论证，激发了学生的思维活动，让他们体会到成功的喜悦，学生学习的积极性溢于言表。

    5、自主强化练习，巩固新知

例：当某同学3月份的手机话费支出是83元时，各小组分别以不同的计费方式计算该同学3月份的通话时间是多长?

第一组：神州大众卡计费方式计算：答：0.3t＝83 t＝276分钟

第二组：移动29卡计费方式计算；答：29+0.3(t一150)＝83 t＝330分钟

第三组：移动69卡计费方式计算；答：69+0.2(t－508)＝83 t＝578分钟

第四组：总结并说明理由。

    在小组练习过程中，教师通过巡视，．对学生中存在的问题及时加以点拔和引导，对典型错误进行讨论乖矫正。本组练习的设计，重在使学生能将知识迁移到新的情景中。即费用相同，计费方式不同的情况下，各种卡的通话时间同样存在很大的差异，再次结合图象得出如何制定计费卡的选择方案。

    6、师生共同总结，研究拓展

    (1)研究拓展，引导学生概括数学建模的方法：

    通过小结，再一次明确了本节课的教学目标，同时实现了学生对知识的自我反馈，建构起知识经验，最终形成自己的见解。

    (2)学习过程评价

由学生自我评价、学生间的相互评价和教师给予学生的评价三部分组成。评价的主要内容有：

●积极调研，收集信息的过程；

●各小组团结协作，自主探索的学习过程；

●师生合作，完成函数建模的过程；

●各小组自主学习，强化练习巩固知识的过程；

●通过本节课的探求，对知识的收获情况。

    实践探究式课程的评价与解答常规的数学题的评价是有区别的，应该更关注学生实践和自主学习的过程。每个人都有非常强烈的荣誉感和成就感，需要得到承认和自我个性化的展示，需要给予更多的鼓励，通过对学习过程的评价和教师给予的充分肯定，学生不但获得了知识，更坚定了今后克服困难的勇气和信心。

    7、课后实践活动，形成能力

    通过课后实践活动，引发学生对数学知识进行更深入的思考，使他们意识到数学知识来源于生活，高于生活，但又服务于生活。充分体会到数学知识的来龙去脉。要求学生课后完成以下两组课题：

    (1)结合函数建模的方法，分析神州大众卡，移动29卡，移动69卡的短消息使用费，长话费的计费情况，得出选择方案。

    (2)通过本节课的学习，你能否在生活实际中发现其他的有关问题，并加以解决。

    结束语：

新教学模式中教学目的、目标发生了变化。课堂应给学生三个层面的东西：给学生知识，这是最基本层次；给学生方法，方法比知识更重要；给学生广阔的视野(能力、情商--非智力因素，主要表现为责任心、意志力、主动性、创造性等)，提高他们发现问题、观察问题、认识问题的能力，使他们对问题有更深入和更有创造性的理解，达到最高层次的教学目的。

 

 

二OO四年九月

 

 

板  书  设  计

 

手机卡计费方式的分析与选择

 

 

 

教　案

 

 

 

 

职高数学(基础版)第一册

第三章第一节

映  射

 

单位：石家庄市信息管理学校

姓名：孙  平

时间：2 004．9．2 5

 

 

 

 

 

 

 

 

§3.1  映射

 

    一、教学目标

    1．使知识基础和能力水平不同的学生，能了解或理解映射的概念，明确映射的三要素及值域的含义．

    2．主要培养学生归纳抽象的能力，分析问题的能力，发散思维和创新思维的能力．

    3．通过小组合作，自主建构，激发学生的学习兴趣，让学生体验映射概念的价值．

    二、教学重点与难点

    1．本课的重点是映射的概念．

    2．本课的难点是对映射概念的理解．

    三、教法与学法分析

    本节课通过“导、读、议、讲、练——五字教学法”与“小组学习法”相结合的形式，调动学生自主学习的积极性，注重培养学生自主探究、归纳抽象、分析问题、发散思维和创新思维的能力，渗透因材施教的教学原则，使全体学生在合作学习中都能获得应有的发展．

    1．自主学习，培养能力：用学生生活中的实例创设问题情境，让学生观察思考，寻找两个实例的共同点，从而抽象出映射的定义，培养学生自主探究、归纳抽象的能力．通过让学生自己举例，培养学生发散思维和创新思维的能力．

    2．因材施教，全面发展：教学中诸如“说一说”、“讲一讲”这些环节，意在使基础较差的同学也能够了解映射的概念；“练一练”中让学生进一步思考如何把“求平方根”这个对应修改为一个映射和“试一试”中让学生在学过的数学知识中举出映射的例子，可以给基础较好的同学以进一步提高的机会；另外，在整个教学过程中，始终注意让不同基础的学生去回答不同难度的问题．所有这些教学安排，其目的在于使所有的学生都能学有所获．

    3．合作学习，共同进步：通过小组讨论去“议一议”、“试一试”，培养学生合作学习的良好习惯，通过小组间的交流和探讨，更广泛地调动起全体学生参与学习的积极性和主动性，使不同层次的学生能互相取长补短，共同进步．

    四、教具

    多媒体课件

  　五、教学过程与方法

  　映射的概念很重要，但比较抽象，它既是本章的一个重点，也是一个难点．对于这样一个概念，期望只通过一两个例子，让学生完全理解是不现实的，只有通过分析大量实例，逐步加深认识，才可能使学生理解它的确切含义．因此，教学中安排了三个大的环节，即：初识概念，进一步理解概念，内化体验概念，这三个环节是逐层递进的．

    1．通过“看一看”、”想一想”，激发学生入情入境，对分配机位和分配宿舍两个实例进行分析、归纳，然后抽象出映射的概念，并明确映射的记法、三要素，继而通过“读一读”和“说一说”，使学生对映射的概念有一个初步的认识，这一环节注重对学生的观察、思考、分析、归纳、抽象等能力的培养．

    2．通过“讲一讲”、“练一练”及“议一议”，学生在主动参与——主动反应之中，进一步认识映射的概念，并明确映射值域的含义．在前一环节的基础上对映射概念的理解又向前推进了一层·这一环节注重对学生的观察问题、发现问题、分析问题、解决问题能力的培养．

    3．通过“试一试，，及让学生归纳、概括知识要点，不仅可以使学生感受到映射在生活中和数学的学习中的应用价值，从而把体验性目标提升到体验价值上，而且可以使学生通过对所举实例进行归纳、概括，把对映射概念的理解上升到一个新的认识高度．同时，让不同层次的学生举出日常生活中的或数学学习中的映射的实例，可以激发学生的学习兴趣，极大地调动学生的学习积极性和参与性．这一环节注重对学生的发散思维和创新思维能力的培养．

    (具体教学过程与方法见下页)

    六、板书设计

教学过程     一、导入     看一看     实例1同学们上计算机实训课时分配机位的情况．(见课件)     实例2同学们刚入学的时候分配宿舍的情况．(见课件)       想一想     上面两个例子有什么共同点?     (每一个同学都有机位(宿舍)，且只能有一个机位(宿舍)，即前一个集合中的每一个元素都有后一个集合中的元素和它对应，且只有一个元素和它对应)     由此抽象出映射的定义．     二、新课     读一读 映射的定义：设A和B是两个集合，如果存在一个法则f，使得集合A中的每一个元素a，都有集合B中惟一确定的元素b与它对应，则称f是A到B的一个映射，记作 f：  A→B     　　 a|→b 其中b称为a在f下的象，a称为b在f下的一个 原象．a在f下的象用符号f(a)表示，于是映射f也可以记成 f(a)=b，a∈A．     映射的实质是：两个集合之间的一个对应法则，这个对应法则把第一个集合中的每一个元素对应到第二个集合中惟一确定的元素．     f：A→B具有“方向性”．把A叫做映射f的定义域，把B叫做f的陪域．     一个映射f：A → B由定义域、陪域和对应

思路与方法       用学生日常生活中非常熟悉的实例来创设问题情境，“导”入新课，容易引起学生的学习兴趣，使学生很快入情入境，便于学生找到两个实例的共同点．           寻找两个实例的共同点时，在老师的启发下，大部分学生应该能够归纳抽象出两个实例的共同点，此时老师再给出映射的定义．           映射的定义用课件展示，不予板书，黑板上只写出映射的记法以及主要关键词，以提高效率．     要求学生通过仔细阅“读”定义，找出定义中的关键词，并分析其含义，揭示出映射的实质，达到初步理解映射定义的目的．     这里让学生在定义中找关键词——分析其含义——揭示定义的实质，是学习概念的常用方法，可让基础较好的同学来试做．         老师点评揭示映射定义的实质，可以帮助学生理解映射的定义，并由此点明判断映射的方法．     把定义域、陪域的概念放在映射定义中讲解，比较自然，而且可以为后面的叙述、练习提供方便．

 

法则组成，它们称为映射的三要素．     说一说     两个引例分别是哪个集合到哪个集合的映射，指出其三要素分别是什么，并分别说一说其中的象和原象．     由“分配宿舍”这个映射，6 l 8宿舍有8个原象，引出：    ’评注1映射可以“一对一”、“多对一”，不可以“一对多”．     讲一讲     以下四个对应，其中构成映射的是①、④，它们的三要素分别是什么?  ②、⑧不是映射，为什么?       由此得出关于映射的第二点评注：     评注2定义f(A)一{f(a)｜ a∈A}     称f(A)为映射f的值域，显然有f(A) B．     并且求第①、④小题的映射的值域．     练一练     1．判断：“求平方”即f(x)=x2，  x∈R是不是实数集R到自身的一个映射?它的三要素是什么?     是．定义域、陪域都是R，对应法则为“求平方”．

可以让基础较差的学生来说，目的在于 引导学生初步认识映射的概念，了解映射的 构成要素，理解象和原象的确切含义，并由 此很自然地引出评注1．             题目中用图示表示集合与对应，比较直 观简单，难度较小，可以安排程度较差的学 生回答，以使其通过简单的例子也能了解映 射的概念．             另外，让学生仔细观察①和④这两个映 射，看它们有什么不同，在映射①中，第二 个集合中的元素6没有原象，而在映射④中，第二个集合中的每一个元素都有原象，由此即引出映射的值域的概念，并由映射值域的定义分析出值域是陪域的子集．         让学生先看一些具体实数的平方，由特 殊到一般，来启发学生的思路．紧紧扣住映 射定义的关键词一一A中“每一个”，B中  “惟一确定”来判断．此题要让中等程度的学生来回答．

 

2．判断：“求平方根”是不是实数集R到自身的一个映射?为什么?     不是．因为负实数比如一l没有平方根，不满足定义中A的“每一个”元素在B中都有对应元素；而且正实数比如l有两个平方根，不满足定义中A的每一个元素在B中有“惟一确定”元素与之对应．         3．你能将此例修改，得出一个映射吗?     将对应法则改为“求算术平方根”，同时把前一个集合改为非负实数集R＋，则“求算术平方根”是非负实数集R＋到实数集R的一个映射，其中陪域也可以改为R＋．         议一议     观察2004年9月份的月历给出的对应关系，你能从中找出一些映射并指出其定义域，陪域和对 应法则吗?         试一试     你能在日常生活的现象中或在已经学过的数 学知识中举出一些你认为是映射的实例吗?     要求：对举出的每个映射都仿照老师所给例子的格式写在纸上，且能明确地指出每个映射的三要素分别是什么．	学生在上一题的启发下通过观察具体实数的平方根即可得出正确判断．一定要让学生“讲”出不是映射的理由，必要时可试问“1的平方根是什么”?或“在实数集中负数有平方根吗”?此题也要让中等程度的学生来回答．         此问是上一问的引申，可引发学生深入思考，进一步加深其对映射概念的理解．此一问要让基础较好的同学来回答．     教师可以带领学生一起把此题中两个映射的记法板书在黑板上，为学生后面的学习做一定的准备．   这一环节先让小组讨论，老师给以适当的提示，目的在于让学生进一步认识并理解映射的概念．另外，也借此题启发学生思维，作为下一步学生自己举出映射实例的过渡．     先小组讨论，然后用实物投影仪打出各组讨论的结果，让举例较多的一个小组选派代表到讲台上发言，讲解本组讨论的结果并指出每个映射的三要素，其他小组判断此结果是否正确．鼓励各小组要集思广益，举出尽量多的例子．     安排此教学环节的目的在于使学生由顺从反应过渡到主动反应，同学间互相启发，充分讨论，既加深了学生对概念的理解，体验到映射概念的价值，更培养了学生发散思维和创新思维的能力，同时也可使接受较慢的同学通过小组成员间的互相帮助赶上
三、小结     本节课学习了映射的概念以及需要注意的几个问题．     映射是日常生活中许多现象的抽象，在科学技术飞速发展的今天，映射已成为现代数学中最基本、最重要的概念之一．本章将继续研究的函数其实就是特殊的映射．因此，学好映射可以使我们更好地理解函数的概念，从而学好有关函数的知识．从下节课开始，我们就来研究有关函数的问题．     四、作业     1．必做：P80 A组题1，2，3；     选做：B组题1．     2．通过小组讨论，每人至少举出三个映射的例子．(要求：不要与课上或书上的例子重复)     3．思考：P80 A组题4及B组题2．(下节课提问)		来．     让学生举出生活现象中映射的实例，学生可以类比前边的许多实例去思考，应该说难度不大．但若让学生在学过的数学知识中举出映射的例子，难度就会大一些，因为这里要涉及数学中的一些概念和运算，也就是要有一定的数学素养，而这恰是多数职校生比较欠缺的，比如上题中，好多学生对“平方根”和“算术平方根”就不加区分．因此，这里让学生举出数学学习中映射的例子，让学生进一步体验映射在数学中的应用价值，是很有必要的，但也是有一定难度的．教师可以比较详细地解释范例，开拓学生思路，并在巡视中给予一定的提示，且可让举数学实例较多的小组发言，通过分析，进一步启发学生思考，并为学生完成作业做好准备．     在老师的提示诱导下，让学生归纳、概括知识要点，既可使学生对所学知识进一步领悟内化，从而更加坚定学生自主学习的信念，又可以考察学生对本课知识的掌握情况，并可培养学生归纳总结及语言表达的能力．     小结可由一位同学先说，若不全面可由其他同学补充．     教师对本节内容的强调和引申既可促使学生对本节课所学的知识进行优化加工，在感性向理性的过渡中形成价值取向，同时又可起到承上启下的作用．     作业2意在进一步拓展学生思路，加深其对概念的理解．并使学生在互相帮助中共同进步．

 

说课稿详案

 

长沙市财经职业中等专业学校  唐松林

 

    今天我授课的主题是《三垂线定理》，它取材于立体几何，是立体几何中一个非常重要的定理，它是空间垂直问题向平面垂直问题转换的一个桥梁。对于这堂课的教学，我的整体设计思路可以概括为以上两句话，即：

    兴趣导入、自主探究、整体建构、促进学生思维过程的形成：

具体直观、分析归纳、化难为易、促进学生数学能力的提高。

具体来说：

    我从实际生活中切纸刀的设计原理引入课题，以贴近学生生活的方式、激发学生的学习兴趣。接下来通过两个操作实验让学生自己动手，自己去发现问题，找到问题的规律，加深学生对定理的理解。整堂课我分为四个板块——猜、证、剖、用，整体建构，让学生对定理的学习形成一个整体、全面的认识。整堂课的教学我力求做到具体直观，培养学生的空间想象能力；分析与归纳也自始至终贯穿于整堂课，充分体现数学的逻辑魅力；化难为易，抓住复杂问题背后的简单过程，降低了职高学生的学习难度，提高了他们的学习兴趣。

下面我就这堂课的构思和想法分四个模块向各位评委和同行做详细的说明：首先是“猜”，“猜”就是在实际问题中导入，在两个实验中共同探究，在探究过程中大胆猜想。具体操作步骤如下：通过讨论切纸刀的设计原理引入课题，来激发学生学习三垂线定理的兴趣→复习过程中提出斜线能否与平面内直线垂直的问题启发学生进行积极思考 →通过两个操作性实验，让学生自主探究，猜想出三垂线定理“猜”是课题的引入阶段：兴趣是开启学生学习热情的万能钥匙，实践是提高学生学习欲望的催化剂，因此课题引入一定要从一开始抓住学生的心，而兴趣和实践是让学生投入到课堂的最好方式，这堂课从切纸刀原理这个实践环节入手，通过两个实验发现规律，从一开始就充分调动起了学生的学习积极性。

然后是“证”，首先对实验后猜想的结论设计已知、求证—通过逆向分析法找到证明猜想的途径—经过证明得到三垂线定理—前后呼应，利用三垂线定理解释切纸刀的设计原理，整个证明过程体现了执果索因，引导发现的教学思路。 

“剖”是对定理的作用，定理应用过程中的几种情况进行剖析。它分为这样几种情况：剖析1：何谓三垂线—剖析2：平面内的直线的五种位置情况；并说明证题与直线的位置无关—剖析3：三垂线定理的应用与平面的摆放位置无关；这一教学过程则要求授课教师课前的准备一定要细致，考虑问题要全面。

最后是“用”，“用"是指定理应用的几个步骤，如何在具体问题中明确三垂线的位置。在具体的教学中，我是通过具体问题介绍三垂线瞳理证题的基本步骤：一定；二找；三证明—在证题的过程中简化图形条件，抓住问题根本—依照证题步骤指导学生对具体问题来进行证明。这就是说在应用的过程中教师～定要注意指导学生透过复杂的条件背景抓住解题的关键，化难为易。

证、剖、用都是课题的讲授阶段，这一阶段的教学特点同样可以概括为以上四句话——自主探究，合作学习，保持兴奋度；抽象具体，相l互转换，提高认识感；分析归纳，逆向思维，加强数学思维意识的形成；注重小结，化难为易，促进数学解题能力的提高。整堂课从发现问题到设计问题、分析问题、解决问题、应用问题，自始至终都是学生在唱主角，我仅仅起着一个引导者的作用，教师地位也由原来的居高临下转向“平等中的首席”。在层层深入的教学分析过程中，向学生充分展现了数学的逻辑魅力，进一步提高了他们对数学的学习兴趣。

课题总结阶段则以“模块构建，整体回顾，重点突出，理顺思路”为原则让学生对所学知识形成了一个整体认识，四个教学版块中的重、难点内容逐～强调，提炼教学内容，帮助他们理清学习思路。这节课，我认为教学重点是理解三垂线定理及其作用，掌握三垂线定理解题的基本步骤并解决一些简单的实际问题。难点是三垂线定理的发现和证明过程；在具体的问题中如何明确三条垂线的位置是利用三垂线定理解题关键所在。

课题结尾阶段则做到了首尾呼应，承上启下，定理与逆定理对比强调，引出下节课的内容。《三垂线定理》处在教材中一个承上启下的位置。承上即解决了如何证明斜线与平面内直线垂直(尤其是异面垂直)的问题；启下即引出三垂线定理逆定理。课题结尾注意了首尾呼应能使所学知识形成一个体系，加深学生对本课的记忆。

授人以鱼，不如授之以渔，最后我认为通过这堂课的教学我教给了学生具体与抽象相结合的认冬口方法；执果索因探究问题的解题方法；抓住根本化难为易的思考方法；及时小结整体把握的学习方法。

 

 

 

 

 2004.9.23

 

 

 

 

全国中等职业学校数学教学观摩课

教  案

课题：三垂线定理

授课人：唐松林  单位：长沙市财经职业中专

教学目的：  1．使学生理解和掌握好三垂线定理，并能利用其解决一些基本问题。

    2．培养学生猜想、论证、应用的能力。

教学重点：三垂线定理以及运用其证题的三个步骤：一定、二找、三证明。

教学难点：三垂线定理的发现及其论证。教学方法：引导发现式。

教学手段：采用现代化多媒体教学手段。

教学过程：

(一)复习和新课的引入

    实践活动引入课题：要求学生利用切纸刀将一个直角梯形切成一个矩形，提出切纸刀的操作原理的问题，激发学生的学习兴趣，并引入三垂线定理的探究和发现过程。

为了学习好这堂课，先带学生复习好相关的知识点，较好的恢复学生对旧知识的记忆，这对提高本堂课的学习效率有帮助。

(师)提问复习：  1．直线与平面垂直的定义?

    (生)：略。并向学生说明，直线与平面垂直的定义的逆命题也是成立的，它实际上给出了我们证明两条直线互相垂直(尤其是异面垂直)的一条重要办法，即由线面垂直→线线垂直。

2．直线与平面垂直的判定定理?

    (生)：略。指出此定理是证明|直线与平面垂直的重要方法。

3．何谓平面的斜线，以及斜线在平面上的射影?

    (生)：略。再次传授学生找斜线在平面上的射影的方法。

    在提问的过程中，并依次进行动画演示，生动直观地展示复习的内容。

(二)猜想与发现

    (师)：根据直线与平面垂直的定义，我们知道，若直线与平面垂直则该直线垂直于平面内的所有直线，那我可不可这样猜想，若直线与平面斜交，则它与平面内的所有直线都不垂直呢?

    老师引导学生动手做实验，去检验我们的猜想：

[实验要求]：拿一条长直尺斜靠在桌面上，直角三角板的长直角边始终紧靠着直尺，三角板可以沿直尺上下滑动或转动，看能否找到一个位置，使得三角板的短直角边恰好由与桌面吻合。

[实验过程]：

(此过程采用电脑抽象)

[实验结论]：通过实验我们发现，刚才的猜想是错误的!平面的一条斜线是能够与平面内的直线是垂直的，而且在平面内与它垂直的直线有无数多条，有相交垂直的，也有异面垂直的。

    (师)：那么究竟如何去判定平面内的一条直线与平面的斜线是垂直的呢? 

老师总结分析完学生的回答，并指导学生做实验(2)：

[实验要求]：把直尺平摆放在桌上，让三角板的短直角边紧靠着桌面，并竖直放立，看怎样才能使三角板的斜边与直尺垂直?

[实验过程]：

(此过程采用电脑抽象)

[实验结论]：

    结论一：当三角板的短直角边与直尺垂直时，三角板的斜边也和直尺垂直。

    结论二：通过抽象，直尺、三角板的三条边、桌面都依次变成了我们数学中的线条与平面。此时：当A0⊥a时，PO⊥a。

    结论三：转为文字阐述：在平面内的一条直线，若与平面的一条斜线的射影垂直，则它也和斜线垂直。

(三)证明

    (师)：要求学生根据我们实验猜想出来的结论，利用(图5)，设计一个问题，然后对其进行逆推论证。

    (生)：已知：PA、P0分别是平面α的垂线和斜线，A0是P0在平面α上的射影，a α，a⊥AO。

(师)：常用的方法是证明一条直线垂直另一直线所在的平面，现在要证明a⊥po，如果po 平面PAO，那么只要证明a垂直平面 PAO即可。怎样证明a垂直平面PAO呢?那么只要证明a垂直平面PAO内的两条相交直线即可。

证明：  (师生共同完成)。

  　　肯定我们实验所得结论是正确的。

  (师)：这个命题的证明，体现了“由线面垂直-÷线线垂直’’的方法，这个方法很重要，大家要给予足够的重视。上述命题反映了平面内的一『一条直线，平面的斜线和斜线在这个平面内的射影这三者之间的垂直关系。这就是有名的三垂线定理。

(四)剖析定理

    (师)：逐字逐句地阅读定理，同时圈点重要字眼，并提出下面几个问题让学生讨论，并在黑板上版书一个“剖”字。

    1°三垂线定理是用来干什么?

    (解释)：生活实例解释：切纸刀。在数学中主要是用来证明直线与直线，尤其是两异面直线垂直的问题。

    2°由于平面内的一条直线是任意的，那么它在平面内的位置有如下五种基本情况：  (动画显示)  。

    3°平面的位置关系除了如此水平摆放以外，还有这样几种情况：

  (三垂线足理都能运用)：  (动画显示)。

以上几种情况的图形在证题时都是经常遇到的，我们应该灵活运用三垂线定理，对于平面内的直线不过斜足0和平面不是水平放置的  情况是容易被忽略的，这是证题的确定三垂线关系的一个难点，应当‘给予足够童视。 

(五)定理运用

    已知：正方体ABCD—A₁B_lC_lD_l。

求证：(1)AC_l⊥BD；(2)AC_l⊥B₁c；(3)在正方体上有多少条面对角线与直线ACl垂直。

教师讲解第一问： 

利用三垂线定理证题的思维过程是：

   　“一定”一一定平面及平面内的一条

直线和平明的一条斜线。

 

即要分清楚所要证明垂直的两条直线哪条作为平面内的一条直线?平面是什么?哪条作为平面的一条斜线。

    “二找”一一找这个平面的垂线及斜线在平面上的射影。

    “三证明”：一一证明平面内的一条直线与射影垂直。

通过一定、二找我们发现在这个正方体中，有许多线条对我们的证题没有任何帮助，纯属干扰线条，若我们将

它们一一都擦去，见(图17)，再

将它与前面几种基本情况作比较，

我们发现实际上它与(图7)是一致

的。(此过程利用电脑动画处理来

实现)证题过程为：

确定直线BD、ACl分别为平面ABCD内的一条直线和斜线，直线 vlC为平面ABCD的垂线，连接AC，则直线Ac为斜线AC_l在平面ABCD内的射影。

因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，利用三垂线定理可知：AC_l ⊥BD。刻币引导学生思考第二问：

“一定”是定什么?  “二找”又是找什么?通过“一定”、  “二找”以后，删去一些对证题没有帮助的线条，它实际上是一个这样的一个图形，见(图18)。对比前面几种基本图形，它实际上与(图12)是完全一致的，如果我们将它进行转换角度。让平面处于水平状态，那么它实际上与(图7)又是一致的。如何证明ACI_J_B1C呢?以上电脑动画过程如下：

教师引导学生思考第三问：在前面两问的基础上，利用异面直线所成角的定义，找出与ACl垂直的六条面对角线为：BD、D₁B₁、A₁D、 A₁ B、D₁ C、B₁C。  (利用动画依次连接这些线条。)

(六)小结

“猜”、“证”、“剖”、“用”，四个教学版块就是我们整堂课的主要内容。这四个字都是围绕着三垂线定理发现、论证、分析、应用展开的。下面分别针对这四个步骤中的重点内容进行一个简单的回顾，帮助学生理顺学习思路，让学生对所学内容有一个整体、全面的认识。

(七)作业

通过交换三垂线定理的条件与结论形成一个新的命题，要求学生课后按照今天所学习的三垂线定理的证明方法对这一新的命题进行证明，并告诉学生这就是下堂课我们要学习的三垂线定理逆定理。首尾呼应，承上启下结束本堂课的学习。