【DP动态规划】个人常用基础动态规划DP小总结【TODO】

【TODO】

个人小感悟：

关于动态规划，书上和网上有各种理论，

什么决策，状态转移方程，看起来好像思路还挺清晰的。

但是光光看完理论，直接去做题，基本啥也做不出来，这也说明看懂和自己能运用完全是两码事。

理论是严谨的，理论是抽象的，理解起来难免生涩。

一个方法，一个知识，除了其抽象性，人们经常还忽略了另一个重要的方面，直觉性。

形式化的抽象，保证了其严谨性，但是却少了很多直觉性。

我认为在数学上，想要很好的理解的运用，抽象性和直觉性都很重要，

有时候我个人认为，直觉性甚至比抽象性更重要。

如果，你对这种问题，没有办法形成一个直观的理解，那恐怕换个场景，基本就不懂得如果运用自己所学的知识了。

故，希望有花点时间，将自己的理解的一些动态规划问题，做一些直觉性的小总结。

希望日后，在真正能用得上的时候，不是想破了半天理论也套不上，而是能有自己的一点解决方法。

由数据规模可推测大概用什么解法：

1) n <= 20, 基本就是DP了, O(n^2)

2) n < 10^3 or 10^4, 也是DP, O(n^2)

3) n = 10^5, 10^6, 一般得集合分治法得到O(nlogn)

4) n >= 10^8, 那就得考虑怎么O(logn), 或者O(1)了

动态规划的核心思想： 重复， 最优， 子问题

DP分类：

1) 当数据，单行，线性可列的时候

2) 当数据双行，线性可列的时候

1# 最大上升子序列之和

题目编号：HDU1087

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1087

#include<stdio.h>#define MIN 1 << 31#define MAX ~(MAX);int a[1001];int dp[1001];int main() {int i, j, n;while (scanf("%d", &n) && n != 0) {for (i = 0; i < n; i++) {scanf("%d", &a[i]);dp[i] = a[i];}int dpMAX = MIN;for (i = 0; i < n; i++) {dpMAX = MIN;for (j = i - 1; j >= 0; j--) {if (a[i] > a[j]) {dpMAX = dpMAX > dp[j] + a[i] ? dpMAX : dp[j] + a[i];}}dp[i] = dp[i] > dpMAX ?  dp[i] : dpMAX;}dpMAX = MIN;for (i = 0; i < n; i++) {dpMAX = dpMAX > dp[i] ?  dpMAX : dp[i];}printf("%d\n", dpMAX);}return 0;}

2#  最大连续子序列（子串）之和，并输出首位元素

题目编号：HDU1231

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1231

#include<stdio.h>int a[10001];int main() {int i, n;while (scanf("%d", &n) && n != 0) {int flag = 1;for (i = 0; i < n; i++) {scanf("%d", &a[i]);if (a[i] >= 0) flag = 0;}if (flag == 1) {printf("0 %d %d\n", a[0], a[n - 1]);continue;}int pl = 0;int l = 0;int r = -1;int dpMAX = 0;int sum = 0;for (i = 0; i < n; i++) {if (sum + a[i] >= 0) {sum = sum + a[i];if (sum > dpMAX) {dpMAX = sum;l = pl;r = i;}} else {sum = 0;pl = i + 1;}}if (dpMAX == 0) {printf("0 0 0\n");} else {printf("%d %d %d\n", dpMAX, a[l], a[r]);}}return 0;}

3# 区间动态规划，注意区间的错位pre

题目编号：HDU4283

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4283

#include<stdio.h>#include<string>int a[101];int dp[101][101][101];int solve(int l , int r, int head) {if (l >  r) return 0;if (l == r) return a[l] * head;if (dp[l][r][head] != 0) return dp[l][r][head];int dpMin = INT_MAX;for (int k = l; k <= r; k++) {int dpL = solve(l + 1, k, head);int dpK = (head + k - l) * a[l];int dpR = solve(k + 1, r, head + k - l + 1);int sum = dpL + dpK + dpR;dpMin = dpMin < sum ? dpMin : sum;}return dp[l][r][head] = dpMin;}int main() {int ti, t;int i, n;scanf("%d", &t);for (ti = 0; ti < t; ti++) {memset(dp, 0, sizeof(dp));scanf("%d", &n);for (i = 0; i < n; i++) {scanf("%d", &a[i]);}int ans = solve(0, n - 1, 0);printf("Case #%d: %d\n", ti + 1, ans);}return 0;}

3# 最长公公共子序列

原理：

结果：

回溯，找到最长公共子序列

只要从，dp最大的位置i1, i2，从pre退回来找到的都是最长公共子序列，（有可能结果不同）

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>char s1[101];char s2[101];int dp[101][101];int pre[101][101]; // 回溯，找到最长公共子序列char stack[101];int top = 0;void LCS(char s1[], char s2[], int n1, int n2) {int i1, i2;for (i1 = 0; i1 <= n1; i1++) {for (i2 = 0; i2 <= n2; i2++) {if (i1 == 0 || i2 == 0) {dp[i1][i2] = 0;} else if (s1[i1 - 1] == s2[i2 - 1]) {dp[i1][i2] = dp[i1 - 1][i2 - 1] + 1;pre[i1][i2] = 0;} else {if (dp[i1 - 1][i2] >= dp[i1][i2 - 1]) {dp[i1][i2] = dp[i1 - 1][i2];pre[i1][i2] = 1;} else {dp[i1][i2] = dp[i1][i2 - 1];pre[i1][i2] = 2;}}}}// printf the lengthprintf("%maxn len = %d\n", dp[n1 - 1][n2 - 1]);// print dp arrayprintf("\ndp array:\n");for (i1 = 0; i1 <= n1; i1++) {for (i2 = 0; i2 <= n2; i2++) {printf("%d ", dp[i1][i2]);}printf("\n");}printf("\npre array:\n");// print pre arraryfor (i2 = -1; i2 <= n2; i2++) {printf("%d\t", i2);} printf("\n");for (i1 = 0; i1 <= n1; i1++) {printf("%d\t", i1);for (i2 = 0; i2 <= n2; i2++) {printf("%d\t", pre[i1][i2]);}printf("\n");}// print the common sequencei1 = n1;i2 = n2;while(i1 > 0 && i2 > 0) {if (pre[i1][i2] == 0) {stack[top++] = s1[i1 - 1];i1--;i2--;} else if (pre[i1][i2] == 1) {i1--;} else {i2--;}}printf("longest conmmon sequnce:\n");for (int ti = top - 1; ti >= 0; ti--) {printf("%c ", stack[ti]);} printf("\n");}int main() {int i;int n1 = 14;int n2 = 15;//n1 = 1;//n2 = 2;//char s1[] = "1";//char s2[] = "12";for (i = 0; i < n1; i++) {s1[i] = '0' + (rand() % 10);printf("%c ", s1[i]);}printf(", len = %d\n", n1);for (i = 0; i < n2; i++) {s2[i] = '0' + (rand() % 10);printf("%c ", s2[i]);}printf(", len = %d\n", n2);LCS(s1, s2, n1, n2);return 0;}