BZOJ 1485 HNOI 2009 有趣的数列 卡特兰数 线性筛法分解质因数

题意：n个在[1,2n]间的元素组成的数列的种类数，要求相邻奇数位小于偶数位，奇数项偶数项分别单调增。

题解：如果我们按顺序取元素，那么分别往奇数项数列与偶数项数列尾添加就能满足最后的要求。
而且如果保证在取元素的时候奇数项数列的总数总是不小于偶数项数列的总数，就能满足相邻奇数位小于偶数位，因为这么要求可以保证插入偶数项数列尾的数字必定大于奇数项列所有元素，因此肯定满足要求。而且这么取元素覆盖了所有情况。

要求奇数项数列数总不小于偶数项数列数，便和出入栈问题等价，因此答案就是卡特兰数。

听说有人打表看出了。。

普通筛法应该是O(nlnn)的？
线性筛法：
首先我们要避免筛法重复筛一个数，因此考虑在筛关于i的倍数时，枚举之前筛出的质数（因为任何一个数都可以表示为一个小于i质数乘另外一个数字i，至于质数比i大的情况，可以转化为质数要小一些的，比如交换枚举的质数与i的最小质因子）。
线性筛法最重要的一点就是从小到达枚举质数直到i的最小质因子时停止筛关于i的数。
这么考虑，第一次枚举到primej为i的因数时，有i=primej×i′，假使我们继续枚举更大的质数primek，被筛去的数为primek×i=primek×primej×i′=primej(primek×i′)
由于有primek>primej，所以primek×i′>i，肯定会在将来被枚举到（因为当前要筛的数更大且存在）且其质因子至少为primej（由i′可得），因此在枚举到这个数时，当前要筛的数必定会被重复筛一次，因此当前的这个数可以留到下次筛。

#include <cstdio>#define FOR(i,j,k) for(i=j;i<=k;++i)typedef long long ll;const int N = 2000001;ll qpow(ll a, ll b, ll p) {    ll c = 1;    for (; b; b /= 2, a = a * a % p)        if (b & 1) c = c * a % p;    return c;}int pri[N], dy[N], tot[N], vis[N];int add(int x, int k) {    for (; x != 1; x /= pri[dy[x]])        tot[dy[x]] += k;}int main() {    ll ans = 1, p;    int n, c = 0, i, j;    scanf("%d%lld", &n, &p);    FOR(i,2,2*n) {        if (!vis[i]) {            pri[++c] = i;            dy[i] = c;        }        FOR(j,1,c) {            if (pri[j] * i > 2 * n) break;            vis[pri[j] * i] = 1;            dy[pri[j] * i] = j;            if(i % pri[j] == 0)                break;        }    }    FOR(i,n+2,2*n) add(i, 1);    FOR(i,1,n) add(i, -1);    FOR(i,1,c) ans = ans * qpow(pri[i], tot[i], p) % p;    printf("%lld", ans);    return 0;}

1485: [HNOI2009]有趣的数列

Description

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}；(2)所有的奇数项满足a1<a3<…<a2n-1，所有的偶数项满足a2<a4<…<a2n；(3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a2i-1<a2i。现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

3 10                  

Sample Output

5

Hint

对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。