2016.3.19纪中——中山市小学生信息学邀请赛2016模拟赛

               中山市小学生信息学邀请赛2016模拟赛

    总结：这次比赛，有一定的数学考验，大部分都是数学题目。在考试的时候，没有多想，直接暴力解题，导致了许多时间超限。回来一看，原来都是O（1）的算法。真抱怨我考试的时候粗心大意，没有想就直接做。以后记得一定要多写，多画，多算！于是，我就写了一下这份解题报告，希望能够让自己时刻记得要认真一点。

    第一题：

                                                                                 荒岛猎人

题目描述

   克里特岛居住着一个猎人Hugh Glass。岛上有N(1<=N<=2*10^9)个山洞,依次编号为1,2,...,N。Hugh Glass有一个怪癖，他一生中最讨厌三个数a,b,c(a,b,c互不相等，且1<=a,b,c<=100),他坚决不会进入编号为a、b或者c的倍数的山洞。问你Hugh Glass可以进入多少个山洞？

输入

第一行输入四个整数N,a,b,c。

输出

输出一个整数，表示猎人有多少个山洞可以进入。

样例输入

10 2 3 5

样例输出

2

提示

样例解释：
    只有1号和7号山洞可以进。因为2、4、6、8、10是2个倍数，3、9是3的倍数，5是5的倍数，这8个数不符合要求。

数据范围：
50%的数据满足N<=10,000,000;
100%的数据满足1<=N<=2,000,000,000,1<=a,b,c<=100。

【解题思路】

         这道题，就是求a,b,c在N以内有几个公倍数。这道题其实是一个容斥原理。一开始，我们先求出a,b,c分别的公倍数倍数：+n div a+n div b+n div c,然后这样的公倍数一定会有重复的，比如18，就可能是3,6的倍数，重复了，所以要减去：-n div gcd(a,b)-n div gcd(a,c)-n div gcd(b,c)，如果这样减，就可能减到了3有三个因数的数，所以要加进去，就是+n div gcd(gcd(a,b),c);

【代码】

<span style="font-size:14px;">var         a,b,c,n:longint;function gcd(x,y:longint):longint;var         r,x1,x2:longint;begin         x1:=x;         x2:=y;         r:=x mod y;         while r<>0 do         begin                  x:=y;                  y:=r;                  r:=x mod y;         end;         exit(y*(x1 div y)*(x2 div y));end;//这个是求最小公倍数的begin         assign(input,'a.in');reset(input);         assign(output,'a.out');rewrite(output);         readln(n,a,b,c);         writeln(n-(n div a+n div b+n div c+n div gcd(gcd(a,b),gcd(b,c))-n div gcd(a,b)-n div gcd(a,c)-n div gcd(b,c)));         close(input);close(output);end.</span>

第二题：

                             人机大战V

题目描述

         2016年3月13日，载入史册的一天，李世石执白战胜了阿法狗，虽然1:3败局已定，李世石还是想赢得第5场胜利，为人类扳回一点颜面。
         他提出一个新的玩法：N个棋子排成一排，从1到N编号，一开始都是黑色朝上。接下来第1秒，把所有编号为1的倍数的棋子翻转；第2秒，把所有编号为2的倍数的棋子翻转；第3秒，把所有编号为3的倍数的棋子翻转，。。。，这样的操作一直持续了N秒。
         现在李世石想考一下阿法狗N秒后一共有多少个棋子是黑色朝上，作为阿法狗软件工程师的你需要设计程序来解决。

输入

    第一行输入一个整数N(1<=N<=10^9)，表示棋子的数量。

输出

输出N秒后黑色朝上的棋子数量。

样例输入

10

样例输出

7

数据范围限制

数据范围：
20%的数据满足：N<=5,000;
40%的数据满足：N<=100,000;
60%的数据满足：N<=1,000,000;
80%的数据满足：N<=10,000,000
100%的数据满足：N<=1,000,000,000。

提示

样例解释：
第1秒翻转棋子：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10
第2秒翻转棋子：2、4、6、8、10
第3秒翻转棋子：3、6、9
第4秒翻转棋子：4、8
第5秒翻转棋子：5、10
第6秒翻转棋子：6
第7秒翻转棋子：7
第8秒翻转棋子:8
第9秒翻转棋子：9
第10秒翻转棋子：10
1号棋子被翻转1次，2号被翻转2次，3号被翻转2次，4号被翻转3次，5号被翻转2次，6号被翻转4次，7号被翻转2次，8号被翻转4次，9号被翻转3次，10号被翻转4次，2、3、5、6、7、8、10号棋子为黑色朝上，其余为白色朝上，答案为7。

【解题思路】

         这道题，我们不难可以发现，最后黑色朝上的，一定是完全平方数。这是为什么呢？因为完全平方数的因数是奇数，但是不是完全平方数的数，他的因数都是由双数个的。求1-n的完全平方数个数，就是trunc(sqrt(n));

【代码实现】

 var    <span style="font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">n:qword;</span>

begin        assign(input,'b.in');reset(input);        assign(output,'b.out');rewrite(output);        readln(n);        writeln(n-trunc(sqrt(n)));        close(input);close(output);end.