BZOJ 2038 小Z的袜子 莫队算法介绍

莫队算法好神奇。。
假设有M个询问，可能实现是这样的：

queries.each { (l, r) =>    process-answer (l, r)}

其中process-answer (l,r)应该是O(n)或多个log的查询。
变换一下形式：

init = ()queries.each { (l, r) =>    transform-range init -> (l, r)}

其中transform-range意为将init区间的答案更新到(l,r)，理应也是O(n)的。
整个算法是(nq)
于是我们研究一下如何改进算法2。
考虑对询问排序。
对整个序列分块，令一个询问所属的块为其左端点所在的块。
首先序列按所属块排序，同块内按右端点排序。
那么对于每个块这么处理：

sort `queries` order by { (l, r) =>    primary key: block[l]    secondary key: r}init = ()queries.each { (l, r) =>    transform-range init -> (l, r)}

下面分析复杂度。
排序后，对于每块内的询问，右端点都至多移动n次，而我们有n‾√块，因此右端点会移动O(nn‾√)次。对于所有询问，维护左端点的时候都会在块中移动，因此左端点会移动O(qn‾√)次，因此复杂度为O((n+q)n‾√)，而且常数应该很小。

#include <cmath>#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 50001;int block[N], c[N], s[N]; ll x[N], y[N];struct Query { ll a, b; int l, r, i; } q[N];bool cmp1(Query a, Query b) { return block[a.l] == block[b.l] ? a.r < b.r : a.l < b.l; }bool cmp2(Query a, Query b) { return a.i < b.i; }ll gcd(ll a, ll b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }void transform(int &l, int &r, ll &ans, ll &len, int ql, int qr) {    static ll range = 0;    for (; r < qr; ++r) range += s[c[r + 1]]++;    for (; r > qr; --r) range -= --s[c[r]];    for (; l < ql; ++l) range -= --s[c[l]];    for (; l > ql; --l) range += s[c[l - 1]]++;    ans = ql == qr ? 1 : range;    len = (ll)(r - l + 1) * (r - l) / 2;    if (ans == 0) len = 1;    else {        ll p = gcd(ans, len);        ans /= p; len /= p;    }}int main() {    int i, l = 1, r = 0, n, m, sz;    scanf("%d%d", &n, &m); sz = (int) sqrt(n);    for (i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &c[i]), block[i] = (i - 1) / sz + 1;    for (i = 1; i <= m; ++i) scanf("%d%d", &q[i].l, &q[i].r), q[i].i = i;    sort(q + 1, q + m + 1, cmp1);    for (i = 1; i <= m; ++i) transform(l, r, q[i].a, q[i].b, q[i].l, q[i].r);    for (i = 1; i <= m; ++i) x[q[i].i] = q[i].a, y[q[i].i] = q[i].b;    for (i = 1; i <= m; ++i) printf("%lld/%lld\n", x[i], y[i]);    return 0;}

2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 259 MB
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Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input

6 4

1 2 3 3 3 2

2 6

1 3

3 5

1 6

Sample Output

2/5

0/1

1/1

4/15

【样例解释】

询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。

询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。

询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。

注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。

【数据规模和约定】

30%的数据中 N,M ≤ 5000；

60%的数据中 N,M ≤ 25000；

100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

Source

版权所有者：莫涛