评康熙朝的一场天文比试

　　杨光先和明烜原是康熙朝的钦天监监正和监副 (国家天文局局长和副局长)。康熙亲政之后, 命令这对难兄难弟与传教士南怀仁比赛, 预测立竿的日影和太阳的仰角, 结果杨一败涂地, 几遭问斩。此后百余年, 钦天监的业务尽交洋人主持。 直到道光年间, 洋天文学家或归国或老死, 而钦天监的中国官员也已学会西法, 才停止延请洋人入监。
　　立竿见影这套设计又名日晷, 功能之一是利用每天正午时的竿影来判断一年中的时序。在北回归线以北的地带, 亦即纬度高于北纬23.5∘ 的地带, 夏至 (约6月22日) 这一天的日影最短, 冬至 (约12月22日) 这一天的日影最长。由于每一天太阳直射地球的纬度不同, 因此正午时的日影也随之而有消长, 请看下图 (以下的讨论均假设竿子立在位于北纬40∘的北京):

　　图中, 太阳直射北纬 δ。由于北京位于北纬40∘ , 因此阳光与立竿的夹角是 40∘−δ, 再从下图这个直角三角形看出影长与竿长之比是tan(40∘−δ)。
以夏至这一天为例，δ=23.5,tan(40∘−23.5∘)≈0.3。因此如果立竿高 200 公分, 正午的影长就是 60 公分。到了冬至这一天, 影长与竿长之比变成 tan(40∘+23.5∘)≈2.0, 竿长 200公分对应的影长大约是 400 公分。
　　至于太阳的仰角, 从上图可以看出正午的时候, 这个仰角就是40∘−δ的余角, 亦即50∘+δ。 因此在夏至的时候是73.5∘, 冬至的时候是26.5∘, 不过这是正午的情形。如果问的是北京某日,下午三点时的仰角, 那又另当別论, 因为如图(y 轴指向正南):

正午时太阳在正南, 对应θ=0∘， 此时太阳的方向向量是 (0,cosδ,sinδ)。 由于地球由西向东绕北极自转, 因此在正午以后, 太阳的方向向量 (0,cosδ,sinδ)向着 x 轴(指向西方), 绕z 轴转了θ角, 新的方向是 (cosδsinθ,cosδcosθ,sinδ)。如果要了解这个方向在北京的仰角γ, 或者cos(90∘−γ), 就要将此方向与在北京立竿的方向(0,cos40∘,sin40∘)作积而得到γ、θ 和δ的关系式:

sinγ=cos(90∘−γ)=cos40∘cosδcosθ+sin40∘sinδ　　(1)

而此刻竿影与竿长之比就是tan(90∘−γ)。
　　例如, 在正午的时候, θ=0∘,sinγ=cos40∘cosδ+sin40∘sinδ=cos(40∘−δ), 亦即 γ=90∘−(40∘−δ)=50∘+δ, 与前文所求相符。 若是要求下午 3 时的仰角γ, 则在公式 中, θ 要以45∘ 代入, 或是要求上午 9 时的仰角, 公式中的θ 要以 −45∘ 代入, 这是因为每一小时地球自转 15∘, 注意到式中 δ代表太阳直射地球的纬度。
　　前面提到, 夏至的时候, δ=23.5∘, 冬至的时候, δ=−23.5∘, 其间春秋分的时候, δ=0∘。上述二至和二分是一年中四个最重要的节气, 通常发生在 6 月 22 日、 12 月 22 日、 3 月 21日和 9 月 23 日。 然而在这四个节气之间, δ与日期的关系并非线性 而是要看地球当日在公转轨道上的位置。
　　我们在夜晚从地球观天, 极目所见, 只有角度 (方向), 没有远近, 这就是所谓的天球, 球面上繁星点点, 是所谓的恒星, 它们之间的相对位置关系不变, 但是每天绕北极星旋转一圈。 若将地球的经纬度从地心投射到天球, 则在天球上就有了所谓的赤经和赤纬, 并且又将地球所见太阳的轨迹也投射到天球, 就是所谓的黄道。 我们以黄道为黄经和黄纬系统的赤道, 换句话 , 黄道相当于黄纬的零度。
　　现在, 以地球为原点 (球心), 在天球上有两组球坐标, 一是黄经黄纬, 一是赤经赤纬。如图:

　　图中天赤道这一圈是从地心将地球赤道投射到天球的轨迹, 在天球上定为赤纬 0°, 黄道这一圈 是太阳在天球上的轨迹， 定为黄纬 0°。 这两个大圆有两个交点, 一个点是春分定为黄 (赤) 经 0°, 另一个点是秋分定为黄 (赤) 经 180°。以下是二至二分的经纬度:

　　习惯上，我们以(λ，β)表示黄经黄纬，以(α,δ)表示赤经赤纬；两者有下列的换算公式：

sinλ=sinϵsinλsinβ+cosϵsinβ

cosαcosδ=cosλcosβ

sinαcosδ=cosϵsinλcosβ−sinϵsinβ　　　(2)

或

sinβ=cosϵsinδ−sinαcosδsinϵ

cosλcosβ=cosαcosδ

sinλcosβ=sinϵsinδ+sinαcosδcosϵ

式中ϵ代表黄赤夹角，大约是23.5∘。
　　回到杨吴与南怀仁的笔试。若要知道某月某日太阳直射地球的纬度，等于是要知道当天太阳的赤纬δ。以4月20日这一天为例，由于这一天太阳约在黄经30∘，亦即将λ=30∘、β=0∘、ϵ=23.5∘代入换算公式（2）得到

sinδ=sin23.5∘sin30∘cos0∘≈0.4×0.5=0.2

因此δ大约是11°40’。
　　再由（1）式，求4月20日上午9时(θ=−45∘)，太阳在北京的仰角γ

sinγ=cos40∘cos11∘40′cos(−45∘)+sin40∘sin11∘40′≈0.66

γ大约是41°。但是在同一天正午太阳的仰角却是50∘+δ=50∘+11∘40′，约为61∘40′，两者相差20°左右。
　　从上面的计算看来，中国的天文官如果不知道几何及三角，又不能理解地球是球形，乃至于不清楚北京城的纬度，在这种劣势之下如何进行最基本的推测？无怪乎杨吴大败于南怀仁，一言以蔽之，数学太差。理所当败。

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摘自《数学传播》（36期3卷），作者为台大数学系退休教授张海潮。