算法导论第三版习题6.4

6.4-1

(a) 首先调用BUILD-MAX-HEAP(A)得到最大堆A1={25,13,20,8,7,13,2,5,4}
(b) 然后将A[1]和A[9]交换得到A2={4,13,20,8,7,17,2,5,25}，然后调用MAX-HEAPIFY(A,1)，此时A.length=8，得到A3={20,13,17,8,7,4,2,5,25}，此时交换A[1]和A[A.length]得到A′3={5,13,17,8,7,4,2,20,25}，继续循环得到Asorted={2,4,5,7,8,13,17,20,25}

6.4-2

初始化：第一次循环时，i=A.length，显然A[1..A.length]是包含了数组A[1..n]中第A.length小元素的最大堆，而子数组A[A.length..n]=∅显然包含里n−A.length=0个最大元素，循环不变式成立。
保持：在第i次循环中，由于堆A已经经过MAX-HEAPIFY(A,1)成为了最大堆，故A的根节点元素是堆中最大的元素，然后将A的根节点与A[A.heap-size]交换，然后A.heap-size=A.heap-size−1，继续调用MAX-HEAPIFY(A,1)，然后堆A又成为了新的最大堆。由于在每次循环中堆A中最大的元素都会交换到A.heap-size位置，故交换后A[A.heap-size+1]大于A[A.heap-size]，依次类推，子数组A[i+1..n]包含了数组A[1..n]中已排序的n−i个最大元素，而子数组A[1..i]就是包含了数组A[1..n]中第i小元素的最大堆，所以循环不变式保持。
终止：当i=2时，此时所有A[3..n]包含了数组A[1..n]中已排序的n−2个最大元素，然后A[1..2]还是最大堆，将A[1]和A[2]交换之后整个数组A就排序好了

6.4-3

若本身A就是升序序列，首先生成最大堆需要O(n)时间，然后再要调用n−1次MAX-HEAPIFY(A,1)，需要O(lgn)时间，所以总的需要O(nlgn)时间

6.4-4

最坏的情况就是当A已经是升序排列时，此时需要O(nlgn)时间，故HEAPSORT的时间复杂度为Ω(nlgn)