LightOJ 1236 Pairs Forming LCM（唯一分解定理）

Pairs Forming LCM

解题思路：

给你一个数n  求满足lcm(a, b) == n， a <= b 的 (a,b) 的个数
容易知道 n 是a, b的所有素因子取在a, b中较大指数的积
先将n分解为素数指数积的形式
 n=p1^e1*p2^e2*...*pk^ek;
 a=p1^a1*p2^a2*…*pk^ak
 b=p1^b1*p2^b2*…*pk^bk
对于a,b它们的最小公倍数为n,则a1<=e1,b1<=e1那么对于每个素因子pi的个数ei在a,b中的指数ai, bi 至少有一个等于ei， 另一个小于等于ei
先不考虑a, b的大小  对于每个素因子pi：
1. 在a中的指数 ai == ei   那么 pi 在 b 中的指数可取 [0, ei] 中的所有数  有 ei + 1 种情况
2. 在a中的指数 ai < ei  即 ai 在 [0, ei) 中   那么 pi 在 b 中的指数只能取 ei  有 ei 种情况
那么对与每个素因子都有 2*ei + 1种情况  也就是满足条件的 (a, b) 有 π(2*ei + 1)个  考虑大小时 除了 (n, n) 所有的情况都出现了两次  那么满足a<=b的有 (π(2*ei + 1)) / 2 + 1  个。

AC代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <vector>using namespace std;typedef long long ll;bool vis[10000005];int m;vector<int> prime;void get_prime(){    memset(vis,false,sizeof(vis));    vis[1] = true;    for(int i = 2; i <= 10000000; i++){        int t = 10000000/i;        for(int j = 2; j <= t; j++)            vis[i*j] = true;    }    for(int i = 2; i <= 10000000; i++)        if(!vis[i])            prime.push_back(i);}int main(){    get_prime();    int T,t = 1;    scanf("%d",&T);    while(T--){        ll n,ans = 1;        scanf("%lld",&n);        int l = prime.size();        for(int i = 0; i < l && (ll)prime[i]*prime[i] <= n; i++){            int tmp = 0;            while(n%prime[i] == 0){                n /= prime[i];                tmp++;            }            if(tmp)                ans *= (tmp*2+1);        }        if(n > 1)            ans *= 3;        printf("Case %d: %lld\n",t++,ans/2+1);    }    return 0;}