数学背景知识课程笔记

集合(Set)

集合中不能包含重复的元素。

并集和交集

x∈S∪T等价于x∈S or x∈T

x∈S∩T等价于x∈S and x∈T

集合属性

S∪T=T∪S
S∩(T∪U)=(S∩T)∪(S∩U)
(Sc)c=S
S∪Ω=Ω
S∪(T∪U)=(S∪T)∪U
S∪(T∩U)=(S∪T)∩(S∪U)
S∩Sc=∅
S∩Ω=S

De Morgan’s laws

序列

序列是一个有序的集合，它可以有重复的元素。

如果对于所有的i来说，ai≤ai+1,序列要么收敛到∞，要么收敛到一个实数。

如果对于所有的i有|ai−a|≤bi，并且bi→0，那么ai→a

无穷级数

∑i=1∞ai=limn→∞∑i=1nai

如果对于所有的ai≥0，那么极限存在。这是因为随着i不断增大，和也在不断变大，单调的序列要么收敛到一个实数，要么收敛到∞.对于所有的ai≤0同理。

如果所有的ai并不具有相同的符号：

1. 极限可能不存在。
2. 极限可能存在，但是不同加和的顺序可能导致不同的结果。
3. 如果
   ∑i=1∞|ai|<∞
   ，那么极限一定存在并且与加和的顺序没有关系。

几何级数(Geometric Series)

几何级数是在连续项之间具有恒定比例的级数。

多索引级数的加和顺序

由于上图中的所有±1的绝对值和趋于∞，那么它并不满足那个条件，所以加和顺序的不同可能影响到极限的结果不同。

可数与不可数无限集(Countable versus Uncountable infinite sets)

Countable set：无论这个集合是有限的还是无限的，Countable Set中的元素在任何时刻都可以被计数，尽管计数有可能始终不会完成，集合中的每个元素都与一个自然数相关联。

用Cantor’s diagonalization argument 证明实数是Uncountable