荒岛野人

Description

克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人，一开始依次住在山洞C1,C2,…,CN中，以后每年，第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。每个野人i有一个寿命值Li，即生存的年数。下面四幅图描述了一个有6个山洞，住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为1，2，3；每年要走过的洞穴数依次为3，7，2；寿命值依次为4，3，1。

奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？

Input

输入文件的第1行为一个整数N(1<=N<=15)，即野人的数目。第2行到第N+1每行为三个整数Ci, Pi, Li (1<=Ci,Pi<=100, 0<=Li<=10^6 )，表示每个野人所住的初始洞穴编号，每年走过的洞穴数及寿命值。

Output

输出文件仅包含一个数M，即最少可能的山洞数。输入数据保证有解，且M不大于10^6。

Sample Input

3 1 3 4 2 7 3 3 2 1

Sample Output
6
Data Constraint
Hint
该样例对应于题目描述中的例子。

分析：

　　首先分析两个野人i,j的情况。如果i,j在x年相遇并且在第x年时俩人都活着，则可以得到一个同余方程：
　　c[i]+x∗p[i]=c[j]+x∗p[j](ModM)
　　
　　现在我们要求不能使野人们相遇，则需要让这个同余方程无解，或解出的最小的x比两个人中任何一人的寿命长。

上述是两个野人之间的分析，但对于n个野人呢，由于n<=15，我们完全可以双重循环两两判断比较。M的初始值为max{c[i]}（易证，若山洞个数比初始位置还少,是不可行的），每次两两判断时，若有一对能相遇，则这个M不可行，需要M++,直到找到一个M，使每两个野人都不能相遇，则这个M为最终答案。
同余方程：
c[i]+x∗p[i]≡c[j]+x∗p[j](modM)
移项可得：
(p[i]−p[j])∗x≡c[j]−c[i](modM)
即求满足 (p[i]−p[j])∗x−M∗y=c[j]−c[i]
的最小的正整数x
其中在每一步,pi-pj已知，M已知，cj-ci已知，方程即转化为ax+by=c，很眼熟吧？用扩展欧几里得就能求出一组可行的(x,y)的解，但是此时的x并不是最小的正整数解，还需借助通解式x=x0+kb来求出最小正整数解.

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cmath>#include <cstring>#include <algorithm>#define N 20#define fo(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)using namespace std;int c[N],p[N],l[N],n;bool bz;int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y){    if (!b)     {        x=1;y=0;        return a;    }    int d=Exgcd(b,a%b,x,y);    int t=x;    x=y;    y=t-(a/b)*y;    return d;}bool pd(int x,int i,int j){    bz=true;    if (x<=min(l[i],l[j]))     {        bz=false;        return false;    }    return true;}int main(){    freopen("data.in","r",stdin);    scanf("%d",&n);    int k=0;    fo(i,1,n)    {        scanf("%d%d%d",&c[i],&p[i],&l[i]);        k=max(k,c[i]);    }    if (n==1)    {        printf("%d",1);        return 0;    }    while (true)    {        bz=true;        fo(i,1,n-1)        {            fo(j,i+1,n)            {                int x,y;                int pcha=p[i]-p[j],ccha=c[j]-c[i];                int d=Exgcd(pcha,k,x,y);                if (ccha%d) continue;                int xx=(x*ccha/d)%(k/d);                if (xx<0) xx+=abs(k/d);                if (!pd(xx,i,j)) break;            }            if (!bz) break;        }        if (bz)         {            printf("%d",k);            return 0;        }        k++;    }}