陶哲轩实分析 2.3节 习题试解

陶哲轩实分析 2.3节 习题试解

最近从网上下载到了陶哲轩写的实分析，确实是本好书。不过所有的习题都没有给出答案。我试着自己做一遍习题，整理了一份习题解答。放到这里，希望对大家有用。

2.3.1 证明乘法是交换的 （n×m=m×n）

先证明引理 1: m×0=0。

数学归纳法：

当 m=0 时， 0×0=0，成立。

假设当 m=n 时 n×0=0 成立。

那么，当 m=n++ 时：

n++×0=n×0+0=0

证毕

再证明引理 2: m×(n++)=m×n+m

数学归纳法：

当 m=0 时， 0×(n++)=0，成立。

假设当 m=m′ 时 m′×(n++)=m′×n+m′ 成立。

那么，当 m=m′++ 时：

(m′++)×(n++)=m′×(n++)+(n++)=m′×n+m′+(n++)=m′×n+n+(m′++)=(m′++)×n+(m′++)

证毕

至此，可以证明这道题了。还是数学归纳法：

当 m=0 时，0×n=0=n×0。（这里用到了引理1）

假设当 m=m′ 时，m′×n=m×m′

那么当 m=m′++ 时。

(m′++)×n=m′×n+n=n×m′+n=n×(m′++)

证毕

2.3.2 证明正自然数没有 0 因子

先证明 若 n 和 m 都是正的，则 n×m 也是正的。

数学归纳法：

当 n=1 时, 1×m=m 是正的。

假设当 n=p 时，p×m>0。

则，当 n=p++ 时，

(p++)×m=p×m+m>0

这里应用到了命题 2.2.8 正数+自然数还是正数。

之后证明 n×m=0 当且仅当 n 和 m 至少有一个等于 0.

先证明 n×m=0⟹ n 和 m 至少有一个等于 0。

反证法：如果 n 和 m 都是正的，则 n×m 也是正的，与n×m=0 矛盾。所以 n×m=0⟹ n 和 m 至少有一个等于 0。

再证明 n 和 m 至少有一个等于 0 ⟹n×m=0

设 n=0, n×m=0×m=0

若 m=0, n×m=m×n=0×n=0

证毕

2.3.3 证明乘法是结合的

证明：(a×b)×c=a×(b×c)

数学归纳法：

当 a=0 时 (0×b)×c=0

假设当 a=m 时，(m×b)×c=m×(b×c)

当 a=m++ 时，

((m++)×b)×c=(m×b+b)×c=(m×b)×c+b×c=m×(b×c)+b×c=(m++)×(b×c)

证毕

2.3.4 证明 (a+b)2=a2+2ab+b2 对一切自然数成立

(a+b)2=(a+b)×(a+b)=(a+b)×a+(a+b)×b=a×(a+b)+b×(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2

2.3.5 证明欧几里德算法

设 n 是自然数，q 是正数，那么存在自然数 m 和 r，使得 0≤r<q，且 n=mq+r。

数学归纳法

当 n=0 时，m=0,r=0

假设对于 n=n′ 时命题成立，存在m′ 和 r′ 满足 n′=m′q+r′

那么当 n=n′+1 时：

n′+1=m′q+r′+1

这时又分成两种情况。

(1) r′+1<q，此时 m=m′,r=r′+1 满足 0≤r<q，且 n=mq+r。

(2) r′+1=q，此时 m=m′+1,r=0 满足 0≤r<q，且 n=mq+r。

所以对任意的自然数n， 命题都成立