新方法-根据上排给出十个数，在其下排填出对应的十个数

给你10分钟时间，根据上排给出十个数，在其下排填出对应的十个数   
要求下排每个数都是先前上排那十个数在下排出现的次数。   
上排的十个数如下：   
【0，1，2，3，4，5，6，7，8，9】

举一个例子，   
数值: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9   
分配: 6,2,1,0,0,0,1,0,0,0   
0在下排出现了6次，1在下排出现了2次，   
2在下排出现了1次，3在下排出现了0次....   
以此类推..   

我想的办法是，肯定不能全局遍历，但可以局部遍历，比如以0的个数先进行分类。

当0的个数小于并不包含5的时候，我们可以想象，数组b中所有元素的和的最小值是多少。

情况1：将这4个0分配给6，7，8，9,(或者是当数组a不连续的时候的最大的四个数，且b(4)=1，这里还剩下数组a中值为0，1，2，3，5的几个数字，根据

求和(a[i]*b[i])=10以及求和(b[i])=10，遍历9个相同球放进5个盒子并且没有空盒子的可能(40种)，发现b数组的总和肯定大于10，所以不能实现。其实b[0]=0可以肯定，但这种情况下我们只依据数组b元素的和的可能值来评判。

情况2：当0的个数等于5的时候，b[5]=1，b[0]=5，剩余8个元素，有5个0，3个不等于0，且其和是4，遍历这168种可能。

情况3：当0的个数等于6的时候，b[0]=6，b[6]=1，剩余8个元素，有6个0，2个不等于0，且其和为3，遍历这56种可能。

情况4：当0的个数等于7的时候，b[0]=7，b[7]=1，剩余8个元素，有7个0，1个不等于0，且其和为2，遍历这8种可能。如此可解。

网上千篇一律的办法是：

给你10分钟时间，根据上排给出十个数，在其下排填出对应的十个数   
要求下排每个数都是先前上排那十个数在下排出现的次数。   
上排的十个数如下：   
【0，1，2，3，4，5，6，7，8，9】

举一个例子，   
数值: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9   
分配: 6,2,1,0,0,0,1,0,0,0   
0在下排出现了6次，1在下排出现了2次，   
2在下排出现了1次，3在下排出现了0次....   
以此类推..   

 

解题思路：关键是理解“要求下排每个数都是先前上排那十个数在下排出现的次数”。

做以下分析：设总共有n个数，上排a[0...n-1],下排b[0...n-1]，。

1）下排n个数的累加和为n，即b[0]+b[1]+...+b[n-1] = n

2）ai*bi的累加和也为n，即a[0]*b[0]+a[1]*b[1]+...+a[n-1]*b[n-1] = n

3）对于b中任意一个元素b[j], 都存在i，a[i] = b[j].

4）对于b中任意一个元素b[j],都有b[j] >= 0

5）如果a中存在负数。其在b中出现的次数一定为0. 如果a中数值大于n，则其出现次数也为0.

6）a中至少有两个非0数值在b中出现的次数非0

 

a：由1）n > n*b[i],其中b[i]为最小值，则a b中一定均有数值0，否则无解。设a[0] = 0,b[0]为a[0]在b中出现次数。

b：由于b中一定存在0，则0的出现次数一定大于0，因此b[0]>0 且b[0] < n，b[1...n-1]中至少一个值为0. 非0元素出现的次数一共是n-b[0].

c：有2）和6）对任意a[i],a[i]*b[i] < n，即b[i] < n/a[i]，对所有a[i]>=n/2的元素中，在b中出现的次数必须最多只有1个出现次数不为0，且为1.其余出现次数均为0，即[1, n/2）范围内最多只有n/2-1个元素，故0出现的次数必不小于n/2, [n/2,n）范围内的元素必有一个出现次数为1。因此a数列中也必须有1，否则无解。

d：有c得在数值范围为（0，n/2)中（假设有x这样的数）出现的次数和s为n - b[0]或n-b[0]-1。其中1出现的次数至少为1（由c得）。又如果1出现的次数为1，则1出现的次数已经为2，故1出现的次数必大于1.设为x，则x出现的次数至少为1，而x>1,如果x出现的次数大于1，那么必须要有其他数出现的次数为x，这样无法收敛。故x出现的次数只能为1，1出现的次数只能为2.

 另外：（感谢coolria提出）如果上排数列中无0，则下排数列全是0，是其唯一解。

结论：

1）如果上排数列中有0，此时如果上排数列中无0,1,2,n-4这四个数，则下排数列无解；否则下排数列中0出现的次数为n-4；1出现的次数为2；2出现的次数为1；n-4出现的次数为1；其余为0。

2）如果上排数列中无0，则下排数列全0，是其唯一解。