1线性代数引论
来源:互联网 发布:mac口红whirl 编辑:程序博客网 时间:2024/06/09 14:23
1.线性代数引论
1.1 Jordan标准形
Jordan块
主对角元素为某一特征值,副对角元素为1,如:
1阶J块:(λ )
2阶J块:(λ1λ)
3阶J块:⎛⎝⎜⎜λ1λ1λ⎞⎠⎟⎟
4阶J块:⎛⎝⎜⎜⎜⎜λ1λ1λ1λ⎞⎠⎟⎟⎟⎟
……
n阶J块:⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜λ1λ1⋱⋱⋱1λ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟ Jordan标准形
由Jordan块组成的对角阵,如⎛⎝⎜⎜⎜⎜J1J2⋱Jn⎞⎠⎟⎟⎟⎟ 求矩阵A的Jordan标准形
- 先求A的特征多项式,解出特征值
- 特征值单重根为1阶J块,2重根为1个2阶J块或2个1阶J块,即副对角线元素为1或0,先设为*(3重以上的差不多,可能是3个1阶J块,或1个3阶J块,或1个1阶J块+1个2阶J块)
- 对多重根算n-r(A- Iλ)=k,(r(A- Iλ)= r(Iλ-A),实际上跟证相似对角化是一样的套路)k是多少那么那个特征值就对应几个J块,如k=1,则这个2重特征值对应1个2阶J块,*=1,。如k=2,则对应2个1阶J块,*=0。
注意
- 矩阵A有多少个正交的特征向量,就有多少个Jordan块
- A有n个相异的特征值,就有n个1阶J块
- 不考虑J块次序,复矩阵A的Jordan形由A唯一确定
定理
任意n阶矩阵A都可相似于Jordan标准形
1.2 λ矩阵理论
λ矩阵——A(λ)表示矩阵元素含λ
最小多项式
首1的,次数最低的,A的零化式,为A的最小多项式mA(λ) 。能让f(A)=0的就是A的零化式求最小式
先求特征多项式f(λ)=|λI−A| ,设g(λ)=(λ−a)i(λ−b)j… 从次数最低的开始尝试如g1(λ)=(λ−a)(λ−b)… ,算一算是否有g1(A)=0 ,不断提高次数直到遇到gX(A)=0 ,它就是最小式A的最小式无重根 等价于
- A可对角化
- λI-A的不变因子无重根
- λI-A的初等因子均一次
求初等因子
方法2中第2步所谓的分解因式是把不同类型的因式拆开,(λ−1)2(λ+1)3 ,同类型带次数的不要把次数拆开
方法3 常用,一般不考r>3的清醒
初等因子可能有重复的,如北航矩阵论教材27页例5求不变因子
A为几阶方阵就有几个不变因子,从第n个往前求。从初等因子组中取出同类型因子次数最高的项(如:λ-1, (λ-1)2, λ+2 ,( λ+2)3,带λ-1的是一个类型的,取出最高次(λ-1)2 ,带λ+1的是一个类型的,取出最高次(λ+1)3,组成(λ-1)2(λ+1)3)作为第n个不变因子dn(λ),重复上述步奏直到初等因子全部用完,不变因子不足n个,用1补齐,如…=d2(λ)= d1(λ) = 1求Smith标准形
不变因子顺序排下来,写在主对角线上,就是smith标准形
也可以直接由A(λ)经初等行变换化得,要保证第i项能被第i+1项整除,非常麻烦
1.3 Hermite转置
- 共轭转置:
AH ,对A取转置后再取共轭 - 厄米特阵:
AH=A ,若xHAx> 0 则称A厄米特正定 - 酉矩阵:
UHU=I 类似正交阵(QTQ=I ),但U是复数阵 - 共轭转置Hermite转置的计算
(AB)H=BHAH ,其中A为m行n列的矩阵,B为n行p列矩阵。(AH)H=A (A+B)H=AH+BH 。(rA)H=r⎯⎯AH ,其中r为复数,r⎯⎯ 为r的共轭- 若A为方阵,则
|AH|=|A|H ,且tr(AH)=(trA)H - A是可逆矩阵, 当且仅当
AH 可逆,且有(AH)−1=(A−1)H AH 的特征值是A的特征值的复共轭。(Ax,y)=(x,AHy) ,其中A为m行n列的矩阵,复向量x为n维列向量,复向量y为m维列向量,( , )为复数的内积。- 分块矩阵的运算与转置相同,先交换行列,在求每个分块的共轭转置
1.4 酉空间
其实就是把欧式空间里的实数变成复数, 欧式空间是有限维的实内积空间,酉空间是有限维的复内积空间
- 实对称阵,正交阵,厄米特阵与酉矩阵
- A是实对称阵(
AT=A )等价于 存在正交阵Q使得 A相似于 对角阵,即QTAQ=diag(λi…) ,且λi 为实数 - A是正交矩阵(
AT=A−1 ) 等价于 存在酉矩阵U使得 A酉相似于 对角阵,即UHAU=diag(λi…) , 且|λi|=1 - A是厄米特阵(
AH=A ) 等价于 A酉相似于 对角阵,且特征值为实数 A是酉矩阵(
AH=A−1 ) 等价于 A酉相似于 对角阵,且特征值模为1- 相似, 正交相似与酉相似:
∃ 可逆阵P, 使得P−1AP=B , 即A 相似于B∃ 正交阵Q, 使得QTAQ=B , 即A 正交相似于B∃ 酉矩阵U, 使得UHAU=B , 即A 酉相似于B许尔引理(Schur):
∀An×n∈C , A都可 酉相似于 一个上三角阵,其主对角元为A的特征值正规矩阵(规范阵):
∀An×n∈C ,有AHA=AAH - 实对称阵(
AT=A ) 反实对称阵(AT=−A ) 正交阵(AT=A−1 ) - 厄米特阵(
AH=A ) 反厄米特阵(AH=−A ) 酉矩阵(AH=A−1 )
均是正规矩阵
1.5 补充:正定矩阵
描述
设方阵Mn×n ,若对任何非零向量z,都有zTMz>0 ,则称M为正定矩阵。判定
正定矩阵在合同变换下可化为标准型, 即对角矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米矩阵)也是正定矩阵。
判定定理1:对称阵A为正定的充分必要条件是 A的特征值全为正。
判定定理2:对称阵A为正定的充分必要条件是 A的各阶顺序主子式都为正。
判定定理3:任意阵A为正定的充分必要条件是 A合同于单位阵。性质:
- 正定矩阵一定是非奇异的。(奇异矩阵的定义:若n阶矩阵A为奇异阵,则其的行列式为零,即 |A|=0)
- 正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
- 若A为n阶正定矩阵,则A为n阶可逆矩阵。
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