基于密度的聚类

Density-based methods：

DBSCAN中的几个定义：

E邻域：给定对象半径为E内的区域称为该对象的E邻域

核心对象：如果给定对象E邻域内的样本点数大于等于MinPts，则称该对象为核心对象

直接密度可达：对于样本集合D，如果样本点q在p的E邻域内，并且p为核心对象，那么对象q从对象p直接密度可达

密度可达：对于样本集合D，给定一串样本点p1,p2,p3,...pn, p=p1, q=pn,假如对象pi从pi-1直接密度可达，那么对象q从对象p密度可达。注意：密度可达是单向的，密度可达即可容纳同一类。

密度相连：存在样本集合D中的一点o，如果对象o到对象p和对象q都是密度可达的，那么p和q密度相连。

密度可达是直接密度可达的传递闭包，并且这种关系是非对称的。密度相连是对称关系。DBSCAN目的是找到密度相连对象的最大集合。

DBSCAN通过检查数据库中每点的r邻域来搜索簇。如果点p的r邻域包含的点多于MinPts个，则创建一个以p为核心对象的簇。然后，DBSCAN迭代的聚集从这些核心对象直接密度可达的对象，这个过程可能涉及一些密度可达簇的合并。当没有新的点可以添加到任何簇时，该过程结束。

例如：假如半径E=3，MinPts=3，点p的E邻域中有点{m,p,p1,p2,o}，点m的E邻域内有点{m,q,p,m1,m2}，点q的E邻域内有点{q,m}，点o的E邻域内有点{o,p,s}，点s的邻域中有点{o,s,s1}

那么核心对象有p,m,o,s（q不是核心对象，因为它对应的E邻域中点数量等于2，小于MinPts=3）

点m从点p直接密度可达，因为m在p的E邻域内，并且p为核心对象。

点q从点p密度可达，q点从点m直接密度可达，m点从p点直接密度可达

点q到点s密度相连，因为点q从点p密度可达，并且s从点p密度可达。

2、簇的生成原理及过程

1）DBSCAN聚类算法原理的基本要点：确定半径eps的值

①DBSCAN算法需要选择一种距离度量，对于待聚类的数据集中，任意两个点之间的距离，反映了点之间的密度，说明了点与点是否能够聚到同一类中。由于DBSCAN算法对高维数据定义密度很困难，所以对于二维空间中的点，可以使用欧几里德距离来进行度量。

②DBSCAN算法需要用户输入2个参数：一个参数是半径（Eps），表示以给定点P为中心的圆形邻域的范围；另一个参数是以点P为中心的邻域内最少点的数量（MinPts）。如果满足：以点P为中心、半径为Eps的邻域内的点的个数不少于MinPts，则称点P为核心点。

③DBSCAN聚类使用到一个k-距离的概念，k-距离是指：给定数据集P={p(i);i=0,1,…n}，对于任意点P(i)，计算点P(i)到集合D的子集S={p(1), p(2), …, p(i-1), p(i+1), …, p(n)}中所有点之间的距离，距离按照从小到大的顺序排序，假设排序后的距离集合为D={d(1), d(2), …, d(k-1), d(k), d(k+1),…,d(n)}，则d(k)就被称为k-距离。也就是说，k-距离是点p(i)到所有点（除了p(i)点）之间距离第k近的距离。对待聚类集合中每个点p(i)都计算k-距离，最后得到所有点的k-距离集合E={e(1), e(2), …, e(n)}。

④根据经验计算半径Eps：根据得到的所有点的k-距离集合E，对集合E进行升序排序后得到k-距离集合E’，需要拟合一条排序后的E’集合中k-距离的变化曲线图，然后绘出曲线，通过观察，将急剧发生变化的位置所对应的k-距离的值，确定为半径Eps的值。

⑤根据经验计算最少点的数量MinPts：确定MinPts的大小，实际上也是确定k-距离中k的值，DBSCAN算法取k=4，则MinPts=4。

⑥另外，如果觉得经验值聚类的结果不满意，可以适当调整Eps和MinPts的值，经过多次迭代计算对比，选择最合适的参数值。可以看出，如果MinPts不变，Eps取得值过大，会导致大多数点都聚到同一个簇中，Eps过小，会导致一个簇的分裂；如果Eps不变，MinPts的值取得过大，会导致同一个簇中点被标记为噪声点，MinPts过小，会导致发现大量的核心点。

我们需要知道的是，DBSCAN算法，需要输入2个参数，这两个参数的计算都来自经验知识。半径Eps的计算依赖于计算k-距离，DBSCAN取k=4，也就是设置MinPts=4，然后需要根据k-距离曲线，根据经验观察找到合适的半径Eps的值。