DirectX投影变换矩阵的原理与推导，齐次裁剪空间的应用举例

DirectX Geometry Pipeline的投影变换不是D3DXMatrixShadow或者几何书上的投影变换。
几何书上的投影变换是这样的：

分别是平行投影和透视投影，把空间中的三维物体变成二维平面上的图形。
而DirectX Geometry Pipeline的投影变换是这样的：

上图分别是 Perspective Camera 和 Orthographic Camera 的视景体1（图中的坐标架代表摄像机坐标系），不同的视景体决定了不同的投影类型，常见的是透视投影和正投影。DirectX Geometry Pipeline的投影变换是把视景体都变成DirectX规定的长方体 H（齐次裁剪空间）：

w>0：2
齐次坐标

P=(x,y,z,w)∈H⇔x/w∈[−1,1]y/w∈[−1,1]z/w∈[+0,1]⇔x∈[−w,w]y∈[−w,w]z∈[+0,w]

前者是三维到二维的变换，后者是三维到三维的变换；
后者去掉深度信息（z坐标）就相当于前者；
前者补上深度信息可以得到后者。

Perspective Camera

现在来求 把Perspective Camera的视景体变成DirectX规定的长方体的透视矩阵，
思路是先计算三维到二维的透视投影，再加上深度向量。

E是透视投影线的汇聚点，P’ 位于投影平面上，该平面过点Q，法向是N（单位法向量）朝右，
由质点几何易知P’的齐次坐标为((P−Q)N⊤E+(Q−E)N⊤P,(P−E)N⊤)。
深度向量 d=((P−Q)N⊤N,0).

要还原P’的深度信息，只需 把P’的位置坐标加上深度向量d 即可

((P−Q)N⊤E+(Q−E)N⊤P(P−E)N⊤,1)+((P−Q)N⊤N,0)=

((P−Q)N⊤E+(Q−E)N⊤P(P−E)N⊤+(P−Q)N⊤N,1)∼

((P−Q)N⊤E+(Q−E)N⊤P+(P−E)N⊤(P−Q)N⊤N,(P−E)N⊤)

但是因为含有(P−E)N⊤(P−Q)N⊤N，无法写成对 (P,1)的线性变换。这样我们不得不放弃使用真正的深度值了。

深度缓冲区是用来进行深度测试，处理物体的遮挡的。只要能保持相对深度关系，即使不是真正的深度值也没有关系。
如果我们把P’的齐次坐标和深度向量 d 直接相加：

((P−Q)N⊤E+(Q−E)N⊤P,(P−E)N⊤)+((P−Q)N⊤N,0)=

((P−Q)N⊤E+(Q−E)N⊤P+(P−Q)N⊤N,(P−E)N⊤)=

[P(N⊤E+(Q−E)N⊤I+N⊤N)−QN⊤(E+N),PN⊤−EN⊤]=

(P,1)[N⊤E+(Q−E)N⊤I+N⊤N−QN⊤(E+N)N⊤−EN⊤](1)

得到的这个矩阵叫 伪透视矩阵，它把[0,+∞)的实际深度值映射成[0,1]，如下图：

zn 代表近裁剪平面（相对摄像机原点）的位置，x代表实际深度值（到近裁剪平面的距离），f(x)代表伪深度值。可见，太远的深度值会产生精度上的问题。
对于Perspective Camera的视景体，伪透视矩阵 把[0,zf−zn]的深度值映射成[0,zf−znzf].

现在把 E=(0,0,0),N=(0,0,1),Q=(0,0,zn)=znN 代入，伪透视矩阵 =

[znI+N⊤N−znNN⊤0]=⎡⎣⎢⎢⎢zn0000zn0000zn+1−zn0010⎤⎦⎥⎥⎥(2)

假设w、h分别代表近裁剪平面的宽度和高度，那么上面这个伪透视矩阵就把Perspective Camera的视景体变成了宽w高h深zf−znzf的长方体，不过，摄像机坐标架的位置还没变。

接下来要做的就是把这个宽w高h深zf−znzf的长方体变成DirectX规定的”宽2高2深1“的长方体，并且把摄像机坐标架平移到下图所示的位置。

所以，记s=zfzf−zn

⎡⎣⎢⎢⎢zn0000zn0000zn+1−zn0010⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢2w00002h0000s−szn0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢2znw00002znh0000s−szn0010⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥M(s=zfzf−zn)(3)

这就是DirectX Perspective Camera的透视矩阵。它的第3行第4列的元素是1，所以若P=(x,y,z,1)是摄像机坐标系中的点，则PM=(x′,y′,z′,z). 这样就能直接用变换后点的 w 坐标当做深度信息，而不用z′/z。即 w-based depth buffer, or w-buffer3.
所以，虽然上面矩阵乘以任意的非零常数 得到的也都是透视矩阵，但是见脚注4。

Orthographic Camera

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢2w00002h00001zf−zn−zn1zf−zn0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(4)

先缩放，再平移。

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摄像机投影之后，下一步见脚注5。
参考读物《计算机图形学与几何造型导论》一本有趣的书，翻译得也很流畅。

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最后说一下齐次裁剪空间的应用：
　　齐次裁剪空间的概念不光是理解DirectX投影变换的前提，还可以用它做很多有意思的事情，比如：你可能需要从某个位置某个角度摄像机的渲染结果中“抠出”某块区域（portal）内的像，用来渲染平面镜成像、虫洞（portal rendering），也可以用来渲染小地图（正投影摄像机）等。
　“抠出”是个形象的说法，不是真的去抠图，其实是把摄像机第一次的渲染结果Render to Texture，作为第二次渲染时 portal 的shader resource，用portal 的纹理坐标去采样，而 portal 的纹理坐标哪里来？就是从齐次裁剪空间来的：

(uv)=12[(x−y)+(0.50.5)]

还有，3D程序的鼠标拾取算法：先根据鼠标的屏幕位置坐标构造摄像机空间的射线，再求交。

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1. Perspective Camera的视景体是一个四棱台，由垂直于z轴的远、近裁剪平面，过x轴 相对xoz平面对称的两个平面，过y轴 相对yoz平面对称的两个平面 围成；
   Orthographic Camera的视景体是一个长方体，由”近、远、上、下、左、右“六个面围成；z轴正向朝远，x轴正向朝右，y轴正向朝上，且长方体沿z轴旋转对称。 ↩
2. Viewports and Clipping (Direct3D 9) ↩
3. Depth Buffers (Direct3D 9)
   https://www.mvps.org/directx/articles/using_w-buffers.htm ↩
4. A W-Friendly Projection Matrix ↩
5. Viewports and Clipping (Direct3D 9) ↩