判断两个矩形是否重叠

关于如何判断两个矩形重叠，这是我在实际项目开发当中曾经遇到过的问题：“判断图像中检测到的两个人脸框矩形是否有重叠部分，并计算重叠大小，从而确认是否为同一个人脸”。后来，在浏览博客时，也发现也有人将这个问题当做面试题目，并进行过讨论，但是，列出的代码过于繁杂，不敢恭维。所以，写下这篇博文，并贴出代码，供大家参考。

前提

1. 两个矩形的边均与x轴或y轴平行，即轴对齐的矩形
2. 将第一个矩形记做A，第二个矩形记做B
3. 判断矩阵A与矩阵B是否重叠（边沿重叠也认为是重叠）

讨论

1. 第一种方案，正向思维
   按照一般的思路，先列举出所有的矩形重叠的情况，然后，判断是否是其中一种，如图所示，共有四种重叠情况，我们使用紫色代表矩形A，红色代表矩形B，并分别用p1,p2,p3,p4代表对应的左上角与右下角。如果依次判断，过于复杂，而且容易出错，这里我们不再进行代码实现。
   
2. 第二种方案，反向思维
   反向思考，我们不妨先解决出“不重叠”的情况，如图，我们画出了一个并怎么漂亮的图，看起来十分复杂，但是，实际上，相比第一种方案，更易表示。即B矩阵，可能在A的左侧、右侧、上侧、下侧。如果用公式表示，即
   p2.y≤p3.y∨p1.y≥p4.y∨p2.x≤p3.x∨p1.x≥p4.x
   则，两个矩阵重叠时，公式为
   ¬(p2.y≤p3.y∨p1.y≥p4.y∨p2.x≤p3.x∨p1.x≥p4.x)
   根据德·摩根定律可转换为
   p2.y>p3.y∧p1.y<p4.y∧p2.x>p3.x∧p1.x<p4.x
   

解决方案

根据上述第二种情况分析，我们可以进行代码的实现，如下

#include <iostream>using namespace std;//矩阵位置坐标typedef struct Rect {    Rect(int x, int y, int width, int height)        : x(x), y(y), width(width), height(height)    {}    int x;          //矩形左上角x坐标    int y;          //矩形左上角y坐标    int width;      //矩形宽度    int height;     //矩形高度} Rect;/** * @brief 判断两个轴对齐的矩形是否重叠 * @param rc1 第一个矩阵的位置 * @param rc2 第二个矩阵的位置 * @return 两个矩阵是否重叠（边沿重叠，也认为是重叠） */bool isOverlap(const Rect &rc1, const Rect &rc2){    if (rc1.x + rc1.width  > rc2.x &&        rc2.x + rc2.width  > rc1.x &&        rc1.y + rc1.height > rc2.y &&        rc2.y + rc2.height > rc1.y       )        return true;    else        return false;}int main(){    Rect rc1(0,0,10,10), rc2(11,11,2,2);    if (isOverlap(rc1, rc2))        cout << "Rectangles Overlap";    else        cout << "Rectangles Don't Overlap";    return 0;}

附录

此处，本文也提供一个计算该两个矩阵重叠面积比例的函数实现，虽然所用公式看起来不甚相同，但是，可以很容易推出来，实际上是一样的。（注意，此代码中使用了OpenCV内部结构）

/** * @brief 计算两个矩形的相交面积及组合面积，同时计算相交面积占组合面积的比例 * @param 第一个矩形的位置 * @param 第二个矩形的位置 * @param 两个矩阵相交的面积大小 * @param 两个矩阵组合的面积大小 * @return 两个矩阵相交面积占组合面积的比例,即重合比例。如果组合面积为0，则返回0 */float computRectJoinUnion(const CvRect &rc1, const CvRect &rc2, float& AJoin, float& AUnion){    CvPoint p1, p2;                 //p1为相交位置的左上角坐标，p2为相交位置的右下角坐标    p1.x = std::max(rc1.x, rc2.x);    p1.y = std::max(rc1.y, rc2.y);    p2.x = std::min(rc1.x +rc1.width, rc2.x +rc2.width);    p2.y = std::min(rc1.y +rc1.height, rc2.y +rc2.height);    AJoin = 0;    if( p2.x > p1.x && p2.y > p1.y )            //判断是否相交    {        AJoin = (p2.x - p1.x)*(p2.y - p1.y);    //如果先交，求出相交面积    }    float A1 = rc1.width * rc1.height;    float A2 = rc2.width * rc2.height;    AUnion = (A1 + A2 - AJoin);                 //两者组合的面积    if( AUnion > 0 )        return (AJoin/AUnion);                  //相交面积与组合面积的比例    else        return 0;}