第一篇Blog……

嗯……主要为了帮助自己整理做题的思路，于是决定写写Blog尝试一下……

今天先总结一道去年数算实习机考的题--第K大数（POJ2104） 吧……

题目概要：

先给定一个n个数的序列，然后做m次询问，每次询问形式为（i, j, k），表示询问第a个数到第b个数之内第k小的数是几。

（1<= n <= 100000，1 <= m<= 5000， 序列中的数绝对值 <= 10^9）

（题目名说的是第k大……算了不要在意这些细节，反正题意肯定是求第k小）

该题（经室友指导）可以用可持久化线段树。这是个什么东西呢？基本上就是一棵线段树，但每次“修改”一个点的时候，并不修改原节点的值，而是把原节点复制一份，然后修改新的节点。比如说要在某个父节点下修改某个子节点，则先把父节点复制一份（因为父节点也修改了，只要有修改就复制），然后把对应子节点（不妨设为左节点）复制一份，改变其中的相关信息，然后让新父节点的左指针指向新的左子节点，右指针不变，与旧父节点相同，是指向旧的右子节点。

然后这个东西跟这个问题有啥关系呢？可以这样搞：初始的时候创建一棵线段树，每个节点维护一个size信息，表示这个节点代表的区间里面已经插入了多少个数（初始为0）。从前往后遍历整个序列，每次把这个数插入到这棵可持久化线段树当中，然后插入路径上的节点都创建了新的，并且比旧的size值+1。其中必然有新的根，把新根的id记录下来。（我们用顺序方法存储这棵树）

插入完成之后，得到一颗错综复杂的树……这怎么用来处理询问呢？比如询问是从i到j。我们可以注意到，从第j个根往下遍历所有子节点，得到各节点的size值是插入完第j个数之后的size值；对于第i-1个根，得到的是插入完第i-1个数之后的size值。于是把这两棵树对应位置（代表同一区间的）节点相减，得到的正是从插入第i个数到插入第j个数之间各节点得到的size值，也就是只有[i, j]区间的信息。这样我们只需要进行一次搜索，从根节点往下，每次把k与左节点的size值比较，如果小于则往左找，如果大于则把k减掉左节点size，并往右找。这样找到底就是我们要的区间第k小数了。

这样就可以O(logn)解决每个询问了……预处理时间是O(nlogn)，于是就可以了

噢对了，还有一个麻烦事，就是虽然数只有n个，但大小可以很大，如果对-10^9到10^9维护一个线段树就炸飞天了，于是需要先离散化，具体来说就是先对序列排序（间接排序），求出序列名次 -> 位置的映射，然后反过来求一个位置 -> 名次的映射，用这个名次值去维护线段树，最后输出的时候，是用树里找出来的名次值先换回位置，在去原序列里找到原数值。

#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;struct Node{int size;int lc;int rc;} node[2000007]={};int root[100007]={};int nID = 0;int N,M;int arr[100007]={};int sa[100007]={};int rank[100007]={};void Insert(int o, int l, int r, int x)//预处理的插入操作 {if(l == r){return;}int m = (l+r)/2;if(x <= m){node[++nID] = node[node[o].lc];//新建左子节点 node[o].lc = nID;//更新当前节点的左子节点索引 node[nID].size++;//更新左子节点信息 Insert(nID, l, m, x);<span style="white-space:pre"></span>//向左子节点插入 }else{node[++nID] = node[node[o].rc];//新建右子节点... node[o].rc = nID;node[nID].size++;Insert(nID, m+1, r, x);}}int Query(int a, int b, int k)//查询 {int o1 = root[a-1], o2 = root[b];//o1, o2表示两棵树中的对应位置的节点, o1与o2的size作差即为待查区间的size信息 int l = 1;// 区间范围: [l, r] int r = N;while(l < r){int lSize = node[node[o2].lc].size - node[node[o1].lc].size;//计算左子节点size if(k <= lSize)//确定插入方向 {o1 = node[o1].lc;o2 = node[o2].lc;r = (l+r)/2;//更新区间范围 }else{k -= lSize;o1 = node[o1].rc;o2 = node[o2].rc;l = (l+r)/2 + 1;}}return l;}bool cmp(int i, int j)//位置之间比大小的函数 {return arr[i] < arr[j];}int main(){scanf("%d%d", &N, &M);/* 离散化 */ for(int i = 1; i <= N; i++){scanf("%d", &arr[i]);sa[i] = i;//待排序的数组, 准备得到名次 -> 位置的映射 }sort(sa+1, sa+N+1, cmp);//排序. 现在sa数组存放的位置1~N,按照在原序列中大小关系的顺序 for(int i = 1; i <= N; i++){rank[sa[i]] = i;//求反函数, 即位置 -> 名次的映射 }for(int i = 1; i <= N; i++)//依次插入序列中的值 {root[i] = ++nID;<span style="white-space:pre"></span>//保存新根ID node[root[i]] = node[root[i-1]];//维护新根节点信息... node[root[i]].size++;Insert(root[i], 1, N, rank[i]);//向新根插入需要插入的数 }for(int i = 0; i < M; i++){int a,b,k;scanf("%d%d%d", &a, &b, &k);int ans = Query(a, b, k);printf("%d\n", arr[sa[ans]]);//输出时,用名次值换回原值输出 }return 0;}