数字划分类 dp
来源:互联网 发布:知行理工密码 编辑:程序博客网 时间:2024/06/11 09:12
转载自http://www.cnblogs.com/wanghetao/archive/2013/11/25/3442192.html
整数划分 --- 一个老生长谈的问题:
- 描述
整数划分是一个经典的问题。请写一个程序,完成以下要求。
- 输入
- 每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)
- 输出
- 对于输入的 n,k;
第一行: 将n划分成若干正整数之和的划分数。
第二行: 将n划分成k个正整数之和的划分数。
第三行: 将n划分成最大数不超过k的划分数。
第四行: 将n划分成若干个 奇正整数之和的划分数。
第五行: 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
第六行: 打印一个空行 - 样例输入
5 2
- 样例输出
72333
- 提示
- 样例输出提示:
1.将5划分成若干正整数之和的划分为: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2.将5划分成2个正整数之和的划分为: 3+2, 4+1
3.将5划分成最大数不超过2的划分为: 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4.将5划分成若干 奇正整数之和的划分为: 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5.将5划分成若干不同整数之和的划分为: 5, 1+4, 2+3
下面是我根据网上的资料, 写出自己的分析和实现过程.
分析:
本题使用动态规划(Dynamic Programming)方法解决
一 求将n划分为若干正整数之和的划分数
1.若划分的多个整数可以相同
设dp[i][j]为将i划分为不大于j的划分数
(1) 当i<j时,i不能划分为大于i的数,所以dp[i][j]=dp[i][i];
(2) 当i>j时,可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j,划分方案数为dp[i-j][j];若划分数中不含j,相当于将i划分为不大于j-1的划分数,为dp[i][j-1]。所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1];
(3) 当i=j时,若划分中含有j只有一种情况,若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。
dp[n][n]可以解决问题1,dp[n][k]表示将n划分为最大数不超过k的划分数,可以解决问题3。
2.若划分的正整数必须不同
设dp[i][j]为将i划分为不超过j的不同整数的划分数
(1) 当i<j时,i不能划分为大于i的数,所以dp[i][j]=dp[i][i];
(2) 当i>j时,可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j,则其余的划分中最大只能是j-1,方案数为dp[i-j][j-1];若划分中不含j,相当于将i划分为不大于j-1的划分数,为dp[i][j-1]。所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i][j-1];
(3) 当i=j时,若划分中含有j只有一种情况,若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]
dp[n][n]表示将n划分为不同整数的划分数,可以解决问题5.
二 将n划分为k个整数的划分数
设dp[i][j]为将i划分为j个整数的划分数。
(1) i<j为不可能出现的情况,dp[i][j]=0;
(2) 若i=j,有一种情况:i可以划分为i个1之和,dp[i][j]=1;
(3) 若i>j,可以根据划分数中是否含有1分为两类:若划分数中含有1,可以使用“截边法”将j个划分分别截去一个1,把问题转化为i-j的j-1个划分数,为dp[i-j][j-1]; 若划分中不包含1,使用“截边法”将j个划分数的最下面一个数截去,将为题转化为求i-j的j个划分数,为dp[i-j][j]。所以i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i-j][j]。
dp[n][k]为将n划分为k个整数的划分数,可解决问题2。
三 将n划分为若干正奇数之和的划分数
设f[i][j]为将i划分为j个奇数之和的划分数,g[i][j]为将i划分为j个偶数之和的划分数。
使用截边法,将g[i][j]的j个划分都去掉1,可以得到f[i-j][j],所以
g[i][j]= f[i-j][j]。
f[i][j]中有包含1的划分方案和不包含1的划分方案。对于包含1的划分方案,可以将1的划分除去,转化为“将i-1划分为j-1个奇数之和的划分数”,即f[i-1][j-1];对于不包含1的划分方案,可以使用截边法对j个划分每一个都去掉一个1,转化为“将i-j划分为j个偶数之和的划分数”,即g[i-j][j]。
所以f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。
f[n][0]+f[n][1]+……+f[n][n]为将n划分为若干奇数的划分数,为问题4的答案。
参考: [1] http://blog.csdn.net/a83610312/article/details/12685653
[2] http://www.cnblogs.com/jackge/p/3163835.html
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