晶格振动

来源：互联网发布：刘慈欣光荣与梦想知乎编辑：程序博客网时间：2024/06/11 08:15

振动模型

晶体结构中的“格点”是指原子的平衡位置，实际上原子处在不断的振动之中。晶格的振动是典型的小振动问题。

设一定体积内有N个质量为m的原子，第n个原子的平衡位置的位矢为Rn，偏移量为μn(t)，位置矢量为R′n=Rn+μn(t)

N个原子体系的势能在平衡位置的多项式展开为

V = V 0 + \sum i = 1 3 N (\partial V \partial μ i) 0 μ i + 1 2 \sum i = 1 3 N (\partial 2 V \partial μ i μ j) 0 μ i μ j + \dots

不妨设V0=0；在平衡位置时有∂V∂μi=0；忽略高于二次的项，得到

V = 1 2 \sum i = 1 3 N (\partial 2 V \partial μ i μ j) 0 μ i μ j

动能的方程

T = 1 2 \sum i = 1 3 N m i μ ˙ 2 i

由于势能方程中有μiμj这样的交叉项，方程很难求解。因此引入简正坐标。

简正坐标

经典力学

根据线性代数的理论，存在这样的正交变换{aij}和另一组坐标Q1,Q2,…,Q3N，

m i - - - \sqrt μ i = \sum i = 1 3 N a i j Q j

使得势能和动能的表达式都称为平方项之和，无交叉项。

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ T = 1 2 \sum 3 N i = 1 Q ˙ 2 i V = 1 2 \sum 3 N i = 1 ω 2 i Q 2 i

拉格朗日量

L = T - V \Rightarrow p i = \partial L \partial Q ˙ i = Q ˙ i \Rightarrow H = 1 2 \sum i = 1 3 N (p 2 i + ω 2 i Q 2 i)

Q ˙ i = \partial H \partial p i = p i \Rightarrow Q ¨ i = p ˙ i

由应用正则方程得到

Q ¨ i + ω 2 i Q ˙ i = 0

这是

3N个独立的简谐振动方程，相应的解为

Q i = A sin (ω i t + δ)

由最初的

μi=1mi−−−√∑3Ni=1aijQj，知一个简正坐标

Qi代表的是体系中所有原子一起的共同振动，称为一个振动模。

量子力学

H = 1 2 \sum i = 1 3 N (p 2 i + ω 2 i Q 2 i)

⎧ ⎩ ⎨ Q i \to Q i p i \to - i ℏ \partial \partial Q i

得到系统的薛定谔方程为

\sum i = 1 3 N 1 2 (- ℏ \partial 2 \partial Q 2 i + ω 2 i Q 2 i) Ψ = E Ψ

每个分量满足

1 2 (- ℏ \partial 2 \partial Q 2 i + ω 2 i Q 2 i) Ψ (Q i) = ε i Ψ (Q i)

这是典型的谐振子方程，解为

⎧⎩⎨εi=(ni(\?)+12)ℏωiψni(Qi)=|ni⟩

系统的能量

E = \sum i = 1 3 N ε i = \sum i = 1 3 N (n i + 1 2) ℏ ω i

一维单原子链

模型

一维晶格，原子间距a，质量m，每个原子的偏移量μn
这里写图片描述

经典力学推导

假设只有邻近原子间存在相互作用，相互作用势只考虑到平方项。
平衡时，两个原子之间的互作用势能为

v (a + δ) = v (a) + d v d r δ + 1 2 d 2 v d r 2 δ 2 + \dots

相互作用力

f = - d v d δ = - d 2 v d r 2 δ = - β δ

左右两个原子作用力之和为

- β (μ n - μ n - 1) + β (μ n + 1 - μ n) = β (μ n + 1 + m u n - 1 - 2 μ n)

所以有

m d 2 μ n d t 2 = β (μ n + 1 + μ n - 1 - 2 μ n)

这是一个线性齐次方程，且一共有N个进行联立，其解的形式是

μ n = A e i (ω t - n a q)

代回方程可以得到

ω和

q的关系

ω 2 = 2 β m (1 - cos a q)

q的取值范围

- π a \leq q \leq π a

称为布里渊区。
格波的波长为

λ=2πq

一个格波解代表所有原子做频率相同的振动，相邻原子之间位相差为aq.

Born-Von Karman条件

μ n + N = μ n \Rightarrow e - i N a q = 1 \Rightarrow q = 2 π N a \cdot h

即

q的取值范围是

−πa到

πa之间的N个不同数值.

色散关系

ω = 2 β m (1 - cos a q) - - - - - - - - - - - - \sqrt = 2 β m - - - \sqrt ∣ ∣ ∣ sin 1 2 a q ∣ ∣ ∣

长波极限，当

|aq|→0时，

ω∼|q|,λ很大，相邻原子的相位差

aq很小，一个波长内包含很多原子，晶格近乎连续

ω−q图接近连续
短波极限，当

|aq|→π时，一个波长内仅包含两个原子。相邻两个原子相位相差

π.

声子

结合一维单原子链模型和简正坐标，可以知道第q个格波引起的第n个原子的位移

μ n q = A q e i (ω q t - n a q)

第

n个原子的总位移

μ n = \sum q μ n q = \sum q A q e i (ω q t - n a q)

引入简正坐标，

Q q = N m - - - - \sqrt A e i ω q t

则

μ n = 1 N m - - - - \sqrt \sum q Q q e - i n a q

对比一下引入简正坐标时

m i - - - \sqrt μ i = \sum i = 1 3 N a i j Q j

得

a n q = 1 N - - \sqrt e - i n a q

在引入简正坐标之后，可以将总动能和势能表示为

T = 1 2 \sum q | Q ˙ q | 2 U = 1 2 \sum q ω 2 q | Q 2 q |

哈密顿量

H = T + U = 1 2 \sum q (| Q ˙ q | 2 + ω 2 q | Q 2 q |)

利用简正坐标推导，结论可以直接过渡到量子理论。对任一简正坐标q，

1 2 ⎛ ⎝ - ℏ \partial 2 \partial Q 2 q + ω 2 q Q 2 q ⎞ ⎠ ψ (Q q) = ε q ψ (Q q)

ε q = (n q + 1 2) ℏ ω q

波数为q的格波的量子，称为声子。
当振动模式处于(nq+12)ℏωq的时候，就说有nq个声子。
声子可以与电子、光子发生相互作用，交换能量。
声子是一种准粒子，具有动量和能量。
格波在晶体中可以理解成声子和原子的碰撞。
电子波在晶体中的散射可以理解成声子和电子的相互作用。
光在晶体中的散射可以看作是光子和声子之间的相互作用。

一维双原子链

最简单的复式晶格。

模型

原胞a,M,m，晶格常数2a
这里写图片描述

牛顿力学推导

m d 2 μ 2 n d t 2 = β (μ 2 n + 1 + μ 2 n - 1 - 2 μ 2 n) M d 2 μ 2 n + 1 d t 2 = β (μ 2 n + 2 + μ 2 n - 2 μ 2 n + 1)

体系有

2N个独立的方程。格波解的形式仍为

μ 2 n = A e i (ω t - 2 n a q) μ 2 n + 1 = B e i (ω t - (2 n + 1) a q)

A,B分别为两种原子的振幅，因为质量一般不同，所以两个振幅一般也不同。

代回方程得到ω和q的关系

{- m ω 2 A = β (e i a q + e - i a q) B - 2 β A - M ω 2 B = β (e i a q + e - i a q) A - 2 β B

整理得

{A (m ω 2 - 2 β) + B \cdot 2 β cos a q = 0 A \cdot 2 β cos a q + B (M ω 2 - 2 β) = 0

A,B有解的条件是

∣ ∣ ∣ m ω 2 - 2 β 2 β cos a q 2 β cos a q M ω 2 - 2 β ∣ ∣ ∣

为

0.
由此得到

w−q关系

m M ω 4 - 2 β (m + M) ω 2 + 4 β 2 sin 2 a q = 0

解得

ω 2 = β m M [(m + M) \pm (m - M) 2 + 4 m N cos 2 a q - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \sqrt]

从而得到

ω的两个不同的解

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ω 2 + = β m M [(m + M) + (m - M) 2 + 4 m N cos 2 a q - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \sqrt] ω 2 - = β m M [(m + M) - (m - M) 2 + 4 m N cos 2 a q - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \sqrt]

q的取值范围

- π 2 a \leq q \leq π 2 a

为布里渊区。

一个格波解代表所有原子做频率相同的振动，相邻原子之间位相差为aq，相邻两个原胞之间的相位差为2aq.

将ω2+和ω2−分别代入

{A (m ω 2 - 2 β) + B \cdot 2 β cos a q = 0 A \cdot 2 β cos a q + B (M ω 2 - 2 β) = 0

得到

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (B A) + = - m ω 2 + - 2 β 2 β cos a q (B A) - = - m ω 2 - - 2 β 2 β cos a q

Born-Von Karman条件

μ n + N = μ n \Rightarrow e - i \cdot 2 N a q = 1 \Rightarrow q = π N a \cdot h

即

q的取值范围是

−πa到

πa之间的N个不同数值，因为每一个

q对应两个

ω的值，所以共有

2N个振动模。

声学波和光学波

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ω 2 + = β m M [(m + M) + (m - M) 2 + 4 m N cos 2 a q - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \sqrt] ω 2 - = β m M [(m + M) - (m - M) 2 + 4 m N cos 2 a q - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \sqrt]

ω+称为光学波，

ω−称为声学波。

长波极限，当|aq|→0时，

⎧ ⎩ ⎨ ω + = 2 β ( m + M ) m M - - - - - - - - - - \sqrt ω - = 0

相邻原子的相位差

aq很小，一个波长内包含很多原子，晶格近乎连续

ω−q图接近连续

短波极限，当|aq|→π2时，

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ω + = 2 β m - - - \sqrt (假 设 m < M) ω - = 2 β M - - - \sqrt

可见(ω+)min>(ω−)max，因此在(ω+)min和(ω−)max之间不存在振动模。

色散关系

两种原子的振幅比

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (B A) + = - m ω 2 + - 2 β 2 β cos a q (B A) - = - m ω 2 - - 2 β 2 β cos a q

当q→±π2a时，声学波

(B A) - = - m ω 2 - - 2 β 2 β cos a q \to \infty

晶格振动

振动模型

简正坐标

经典力学

量子力学

一维单原子链

模型

经典力学推导

Born-Von Karman条件

色散关系

声子

一维双原子链

模型

牛顿力学推导

Born-Von Karman条件

声学波和光学波

色散关系

三维晶格的振动

运动方程

色散关系

波矢取值

晶格振动谱

布里渊区