HDOJ 2036 求多边形面积
来源:互联网 发布:淘宝开的店铺怎么关闭 编辑:程序博客网 时间:2024/06/10 02:54
可以利用多边形求面积公式:
S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )
其中点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)为多边形上按逆时针顺序的顶点。
S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )
S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )
其中点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)为多边形上按逆时针顺序的顶点。
简要证明:
1.我们先简单地从三个点入手(包括原点)。
2.假设该公式对于n个顶点的多边形成立。即:
面积S△OAB = SABCD - S△OAD - S△OBC ·SABCD = (y0 + y1) × (x0 - x1) ÷ 2 ·S△OAD = x0 × y0 ÷ 2 ·S△OBC = (-x1) × y1 ÷ 2S△OAB = (x0 × y0 + x0 × y1 - x1 × y0 - x1 × y1 - x0 × y0 + x1 × y1) ÷ 2= (x0 × y1 - x1 × y0) ÷ 2公式成立。同理你可以算出其他情况也能符合这个公式。此处注意:由上面的公式可猜想:任意三角形ABC(坐标逆时针排序)的面积为1/2*(x0*y1-x1*y2+x1*y2-x2*y1+x2*y0-x0*y2)
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 由A-->B-->C-->A 按逆时针方向转。(行列式书写要求) 设三角形的面积为S 则S=(1/2)*(下面行列式) |x1 y1 1| |x2 y2 1| |x3 y3 1| S=(1/2)*(x1y2*1+x2y3*1+x3y1*1-x1y3*1-x2y1*1-x3y2*1) 即用三角形的三个顶点坐标求其面积的公式为: S=(1/2)*(x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x2y1-x3y2)由此可推广至n边型,可得如下猜想:
S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )
综上所述,得到公式:S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )再加如第n+1点后,面积S' = S + S△A0AnAn+1 ·S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) ) ·S△A0AnAn+1 = 0.5 * ( (X0*Yn-Xn*Y0) + (Xn*Yn+1-Xn+1*Yn) + (Xn+1*Y0-X0*Yn+1) )∴S' = S = 0.5 * ( (X0*Y1-X1*Y0) + (X1*Y2-X2*Y1) + ... + (Xn*Yn+1-Xn+1*Yn) + (Xn+1*Y0-X0*Yn+1) )
得证!
此公式可引申之三维空间:
已知ABC三点坐标为(x1,y1,z1)(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)
则空间Sabc= |x1,y1,z1| *1/2
|x2,y2,z2|
|x3,y3,z3|
代码:
#include <math.h>#include <stdio.h>int main(void){ int x[3], y[3], n; double sum; while (scanf("%d", &n), n) { scanf("%d%d", x, y); x[2] = x[0]; y[2] = y[0]; sum = 0.0; while (--n) { scanf("%d%d", x+1, y+1); sum += x[0]*y[1] - x[1]*y[0]; x[0] = x[1]; y[0] = y[1]; } sum += x[0]*y[2] - x[2]*y[0]; printf("%.1f\n", sum / 2.0); } return 0;}
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