汉诺塔问题以及递归

汉诺塔问题

我最初接触汉诺塔问题大概是在高三的时候，那个时候的数学试卷出了这么一道题目，记得当初觉得这道题目很有趣，自己翻前覆后想了很多，但是终究还是没有想出个所以然来，或许在那个时候，这道题目在老师和学霸的眼里就是那么简单，不过对于那个时候的我来说，还是很有难度的一道题，当然今天不是，今天几行代码就搞定了。

问题的描述

现在有三根连在一起的柱子，为了方便，我们标记他们为A，B，C。A柱子上从上到下按照金字塔状叠放着n个不同大小的圆盘，现在我们想做这么一件事情，我们要讲A柱子上的圆盘全都移动的C柱子上去，但是我们有这么一个限制：任何大的圆盘永远都不能放置在小的圆盘上，现在我们要知道我们要怎么移动圆盘，请编程写出移动的轨迹。

思路

我们需要倒过来考虑这道问题。我们要怎么办呢？首先，第一个从A柱子移动倒C柱子的圆盘必然是A柱子的最后一个圆盘，然后A柱子的前n-1个圆盘必然都按照从上倒下的金字塔形状叠在B柱子上。我们将A柱子的n个圆盘从A移动倒C之后，问题的规模就缩小了，问题变成了将B柱子上的n-1个圆盘借助A移动倒C柱子上。依次类推。当问题的规模缩小倒1的时候，整个问题就已经解决了。

move(n, a, b, c)表示a柱子上有n个圆盘，要借助b柱子从a柱子移动n个圆盘到c柱子，如果n == 1，我们直接输出a-->c，表示将圆盘直接从a柱子移动倒c柱子，如果n > 1，我们这么干：先将前面的n - 1个圆盘从a柱子移动到b柱子，然后将第n个圆盘从a柱子移动到c柱子,即先调用move(n -1, a, c, b)然后调用move(1, a, b, c),最后调用move(n - 1, b, a, c)。

一个例子

前面的思路其实就是递归了，我曾经不太敢相信递归，认为递归这东西有点玄乎，我怎么确定最后这个程序一定会终止，我怎么确定程序一定会对？递归的思想有点类似于管理，总经理管一堆经理，经理管一堆员工，员工管理一堆临时工，有些事情总经理不需要亲力亲为，事实上他要是这么干就坏菜了，一个人怎么顶起公司那么多大大小小的事情，比如说总经理今年有一个目标，今年全年的业绩要达到5千万，总经理要做的就是给经理下命令，小李这个部门今年业绩要达到1千万，小花这个部门要达到500万，等等。总经理只需要按照自己对部门的了解来下达自己的命令即可，他的估计里或者说他相信自己给各个部门定下的目标一定回实现。

经理们也干不了这么多活，他们一样的根据自己的预估来分派任务，每个员工应该搞定多少业绩，他们确信自己定下的目标一定可以实现，然后这样一层一层分派下去。

到了最底层的临时工，他们分配的业绩一定在他们能够承受的范围之内，也就是说虽然任务繁重，咬咬牙还是可以完成的，好了，他们一旦完成了任务，那么相应的员工的任务完成了，经理的任务完成了，总经理的任务也完成了，这其实就是递归不是么？

关于递归函数

从上面的例子，我们可以看到，从上到下，任务量是在减小的，也就是逐渐达到一个人可以接受的地步的，然后公司的层次也是有限的，没有无限的分派任务下去，最后，其实大部分人干的事情都是相同的，只有最底层的人干的事情有所不同，这其实也反映了递归的三大条件，第一是一定要有递归出口，也就是要有下限，最后的小事一定要有人来办，也就是说公司不能只有管理层，要有干实事的人。第二就是向下派发的任务应该是逐渐减小的，如果没有减小，说明你这个人没干什么事，你的存在就没有多么大的意义了，第三，就是很多人干的事情应该是一致的，这也是为什么要递归的主要原因，干的事不一样就应该调用别的函数了，而不是函数本身了。

总结来说：相同的事是递归，然后不同的事就是递归出口了，然后问题的规模在逐渐减小。自己好好体会吧！

再谈汉诺塔

我们反过头来看这道题目，我们的任务是将n个圆盘从A柱子移动倒C柱子，总经理布置任务了，小李，你将前n - 1个圆盘从A借助C移动到B，然后寡人将第n个圆盘从A移动到C，最后小花，你将n - 1个圆盘从B借助A移动到C，这件事情不就解决了吗？寡人真是太聪明了。

然后经理们拿到自己分配的任务也开始琢磨了，他们发现领导还是很有水平的，因为自己的问题也可以按照领导的方法来解决啊，小李同志发现，自己先命令一个员工小猪，将n -2个圆盘从A借助B倒C，然后自己将第n-1个圆盘从A移动到B，最后自己再命令小狗将n - 2个圆盘从C移动到B，这样自己的问题不就解决了吗？

就这样一层一层下来，n最终会到1,然而这对于最底层的人来说非常简单了，难道说A柱子上一个圆盘，要你借助B到C还有困难吗？这个人解决了问题，他就不会递归下去，递归就有了底线，他的完成会帮助他上面的人完成一部分工作，同样的如果他上面的人完成了自己的工作，然后他的上面的上面的人也会完成一部分工作，一层一层上去，最终所有的任务都完成了。

小结

我并不是闲到蛋疼来写一个很小很小的递归函数，只是自己曾经被这道题目伤害过，算是填补一下自己受伤过的心吧！

代码

代码其实用处不大，重要的是思想。我给出python的代码供参考：

#!/usr/bin/env python3def move(n, a, b, c):#n表示a中含有的盘子的数目，我们的目的是借助盘子c将a中的盘子移动到b#要求采用递归的算法来解决这个问题#参数n，表示3个柱子a、b、c中第1个柱子a的盘子数量，然后打印出把所有盘子从a借助b移动到c的方法    if n == 1:#递归终止条件        print(a, '-->', c)    else:    #将a的前面的n-1个盘子借助c移动到b        move(n - 1, a, c, b)    #将最后一个盘子从a移动到c        move(1, a, b, c)    #将n-1个圆盘从b借助a移动c        move(n - 1, b, a, c)n = input('请输入A柱子上的圆盘的数目:')move(int(n), 'A', 'B', 'C')