HDU 2067 小兔的棋盘(递推)

小兔的棋盘

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Problem Description

小兔的叔叔从外面旅游回来给她带来了一个礼物，小兔高兴地跑回自己的房间，拆开一看是一个棋盘，小兔有所失望。不过没过几天发现了棋盘的好玩之处。从起点(0，0)走到终点(n,n)的最短路径数是C(2n,n),现在小兔又想如果不穿越对角线(但可接触对角线上的格点)，这样的路径数有多少?小兔想了很长时间都没想出来，现在想请你帮助小兔解决这个问题，对于你来说应该不难吧!

 

Input

每次输入一个数n(1<=n<=35)，当n等于－1时结束输入。

 

Output

对于每个输入数据输出路径数，具体格式看Sample。

 

Sample Input

1312-1

 

Sample Output

1 1 22 3 103 12 416024

 

/************************************************************************/

在解决这道题之前，需要提及的是题目中提到的从起点(0,0)到终点(n,n)的最短路径数求法

看下面这几个例子

n=0    case=1

n=1    case=2

n=2    case=6

n=3    case=20

……

其实，把前4个例子填到一个4*4的网格中，我们就会发现点什么了

1   1   1   1
1   2   3   4
1   3   6  10
1   4  10  20

可以得出如下规律，当我们把第一行与第一列赋值为1之后，s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]，那么我们要求的从起点(0,0)到终点(n,n)的最短路径数就是s[n][n]的值

而本题呢，多了一个条件，即起点(0,0)到终点(n,n)的路径不能穿过主对角线

可行方案

不可行方案

因为(n+1)*(n+1)的网格是对称的，那么我们可以单单考虑主对角线以上的部分，求出的结果乘以2即为所求

与之前的思路一致，将第一行全赋值为1，但是与之前不同的是，第一列不再赋值，而是将主对角线的下半部分全赋值为0

例如n=3时，4*4的网格，方案数为5*2=10

0  1  1  1
0  1  2  3
0  0  2  5
0  0  0  5

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")#include<stdio.h>#include<string.h>#include<stdlib.h>#include<queue>#include<stack>#include<math.h>#include<vector>#include<map>#include<set>#include<stdlib.h>#include<cmath>#include<string>#include<algorithm>#include<iostream>#define exp 1e-10using namespace std;const int N = 40;const int inf = 2147483647;const int mod = 2009;__int64 s[N][N];int main(){    int n,k=1,i,j;    while(scanf("%d",&n)&&n!=-1)    {        memset(s,0,sizeof(s));        printf("%d %d ",k++,n);        for(i=1;i<=n;i++)            s[0][i]=1;        for(i=1;i<=n;i++)            for(j=i;j<=n;j++)                s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1];        printf("%I64d\n",2*s[n][n]);    }    return 0;}

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