纱布の莫比乌斯反演的一些理解。

来源：互联网发布：一个问题阻止了windows 编辑：程序博客网时间：2024/06/11 22:05

貌似又一年的暑期集（tui）训(fei)又要结束了，上周大概花了5天的时间做了做单调栈的一些题，然而实在对数据结构不敏感，最后这些天打算强行被莫比乌斯反演反虐一波，毕竟去年这个时候就想开来着，刚打开就虚了，今年感觉我都是个老头子了也没啥现场赛具体压力，所以就当做放松和兴趣重新从最基础的学了学，下面来口胡一堆东西。。慎看。。

首先看这个公式：F(n)=Σd|n f(d)

然后我们来举几个栗子：

F(1)=f(1) F(2)=f(1)+f(2) F(3)=f(1)+f(3) F(4)=f(1)+f(2)+f(4) F(5)=f(1)+f(5) F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)

然后我们再来看看f可以表示成F的某些形式：f(1)=F(1) f(2)=F(2)-F(1) f(3)=F(3)-F(1) f(4)=F(4)-F(2) f(5)=F(5)-F(1) f(6)=F(6)-F(2)-F(3)+F(1)

然后凭借着强大的脑(bai)洞(du) 我们可以花线：f(n)=Σd|n μ(d)*F(n/d)

其中：μ(d)被称之为莫比乌斯函数。其最基本也是最重要的性质是：μ(n)= 1(n==1) else if n=p1*p2*..pk 也即n为k个互异素数的1次方相乘得到那么μ(n)=(-1)^k else μ(n)=0，

为什么是这一个样子呢- -（好吧纱布我也不太清楚诶QAQ）但是我们傻傻举例子来看嘛：6的因子有1 2 3 6 所以f(6)=μ(1)*F(6)+μ(2)*F(3)+μ(3)*F(2)+μ(6)*F(6)

然后套上面的规定：μ(1)=1 μ(2)=(-1)^1 μ(3)=(-1)^1 μ(6)=(-1)^2，然后带回，发现跟我们手推的例子是一样诶（所以没辣么多为什么你就这样记好了23333）

注意μ(4)=0因为4=2^2是由一个素因子的平方倍构成，属于其他情况类属。所以咱们在f(4)中看不到F(1)的身影- 。-

然后再记住一个很重要的东西：Σd|n μ(d)=1(n=1) 0(n>1)

怎么证？

貌似得这样：n=1时，显然。。 n>1时假设n=p1^a1*p2^a2*..pk^ak--->可以分解成k个不同的质因子，然后n的每一个因子d,若要使得μ(d)!=0 那么咱们把d质因子分解之后d显然包含k个不同质因子中的r个（0<=r<=k），然后满足由r个不同的素因子相乘构成的d显然有C(k,r)个对吧。所以！

Σd|n μ(d)=C(k,0)-C(k,1)+C(k,2)+....(-1)^k*C(k,k)<=>Σ0<=i<=k (-1)^i*C(k,i)

这个恒等变换的右半部分显然是一个二项式展开的形式嘛而二项展开的基本形式不就是：(a+b)^k=Σ0<=i<=k C(k,i)*a^i*b^(k-i)然后a,b去一一对应我们花线：a=-1 b=1则可以得到上面的那个展开形式，然后幸运的是，左边等于0辣，所以可以证粗来啦~

然而扯了这么多，我们发现口胡了这么多，并没有证明出为咩：f(n)=Σd|n μ(d)*F(n/d)，因此得继续口胡，上面的就当附赠品（后面还是有用处的）大家也要记到

为什么是这个样子：这我也超级想知道更改求和形式之后的恒等为啥如此，貌似具体数学上有？然而我的书在学霸那里QAQ（有人知道哪里有这个和式交换形式的恒等方面的姿势的资料求告知啊QAQ），但是当我们无法参透具体为啥的时候，举例子又可以拯救世界：

我们令n=6 把f(n)展开有： f(6)=μ(1)*[f(1)+f(2)+f(3)+f(6))+μ(2)*[f(1)+f(3)]+μ(3)*[f(1)+f(2)]+μ(6)*f(1)，改写成Σf*Σμ的形式有：f(1)*[μ(1)+μ(2)+μ(3)+μ(6)]+f(2)*[μ(1)+μ(3)]+...f(6)*μ(1)发现妈的还真能变成那样交换求和形式，太神了%%%

然后我们又能从上面的附赠品中知道啥：当k!=n时，n/k >1 则Σd|n/k μ(d)全是0，而只有当k=n时，Σd|n/k μ(d)=Σd|1 μ(d)=1，然后我们可以知道右边的和式变成了啥，没错就是：f(n)*Σd|1 μ(d)=f(n)*1等于左边，然后就全部证出来了咯~ ~ ~ ~

然后问一个很现实的问题：为什么要反演？目测是因为f(n)比较难求，所以可以用来求f(n)的倍数和或者约数和的形式F(n)也许就会有意想不到的结果。具体题目，等我多做（chao）几道再来分享一下吧- - 发现我这个纱布啥都不会，但是为什么会对这种理论性的东西这么感兴趣，明显智商不够还喜欢去推推推，是不是药丸啊QAQ

0 0