[数据结构]树状数组

树状数组是一种非常优雅的数据结构，当需要频繁地对数组元素进行修改，同时又要频繁地查询数组在任一区间元素之和的时候，可以考虑使用树状数组。换句话说，树状数组(Binary Indexed Tree)是能够完成下属操作的数据结构。
对一个数列a[1…n]：
1、求和：给定i，计算a1+a2+a3…+an
2、修改某一元素的值：给定i和x，执行a[i] += x

复杂度：
树状数组的修改和查询均可在O(log(n))的时间内完成。

生成：
设a[1…n]为原数组，则定义c[1…n]为对应的树状数组。
c[i] = a[i-2^k+1] + a[i-2^k+2] + … + a[i]

例如：
c[1] = a[1];
c[2] = a[1] + a[2];
c[3] = a[3];
c[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4];
c[5] = a[5];
c[6] = a[5] + a[6];
c[7] = a[7];
a[8] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8];
……
以此类推。
其中k为i的二进制表示末尾0的个数，所以2^k即为i的二进制表示的最后一个1的权值。用函数来表示2^k就是 n&(-n)。

int lowbit(int n){    return n&(-n);}

把不需要的节点去掉以后，把剩下的节点对应到数组中：

int sum(int i){    int s = 0;    while(i>0)    {        s += bit[i];        i -= lowbit(i);    }    return s;}void add(int i,int x){    while(i<=10)    {        bit[i] += x;        i += lowbit(i);    }}

用原数组a[1…n]生成树状数组bit[1…n]的方法：
设a[1…N]为原数组,定义c[1…N]为对应的树状数组:
c[i] = a[i - 2^k + 1] + a[i - 2^k + 2] + … + a[i]
其中k为i的二进制表示末尾0的个数,所以2^k即为i的二进制表示的最后一个1的权值. 即2^k = lowbit(i);
所以2^k可以表示为i&(i^(i-1))或更简单的i&(-i).

    for(int i = 1;i<MAXN;i++)    {        for(int j = i - lowbit(i)+1 ; j<=i;j++)        {            bit[i] += a[j];        }        printf("bit[%d] = %d\n",i,bit[i]);    }