线性筛

今天在看了各种以及听了各种之后终于算是了解线性筛了…
虽然都是一些很基本的应用但还是觉得各种强大…

  
  

线性筛素数

代码

int tot_prime, prime[maxn];bool vist[maxn];void get_prime(){    for(int i = 2; i <= n; ++i){        if(!vist[i]) prime[++tot_prime] = i;        for(int j = 1; i * prime[j] <= n && j <= tot_prime; ++j){            vist[i*prime[j]] = true;            if(i % prime[j] == 0) break;        }    }}

  

一些解释

第一次看到的时候就有一句话觉得很鬼畜…

if(i % prime[j] == 0) break;

果然这段代码最鬼畜的就是这句，今天在翻其他东西的时候偶然发现了这个：

这行代码神奇地保证了每个合数只会被它的最小素因子筛掉，就把复杂度降到了O(N)
接下来是证明这个算法正确性的说明：

prime[]数组中的素数是递增的，当i能整除prime[j]，那么i∗prime[j+1]这个合数肯定被prime[j]乘以某个数筛掉。
因为i中含有prime[j]，prime[j]比prime[j+1]小，即i=k∗prime[j]，那么i∗prime[j+1]=(k∗prime[j])∗prime[j+1]=k′∗prime[j]，接下去的素数同理。所以不用筛下去了。因此，在满足i这个条件之前以及第一次满足改条件时，prime[j]必定是prime[j]∗i的最小因子

  
  

求欧拉函数

相关公式

x=Πpaii
φ(x)=x−1 <x∈prime>
φ(x)=xΠ(1−1pi)=Π(pi−pai−1i)
除此只外，欧拉函数还是积性函数，即φ(xy)=φ(x)φ(y) <gcd(x,y)=1>

  

代码

利用线性筛可以在线性时间内求得phi[i]

int tot_prime, prime[maxn], phi[maxn];bool vist[maxn];void get_prime(){    phi[1] = 1;    for(int i = 2; i <= n; ++i){        if(!vist[i]) prime[++tot_prime] = i, phi[i] = i - 1;        for(int j = 1; i * prime[j] <= n && j <= tot_prime; ++j){            vist[i*prime[j]] = true;            if(i % prime[j] == 0){                phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];                break;            }            else phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];    }}

  

what’s more

但有时并不需要求1...x的所有欧拉函数值，很多时候我们要求的都是一个比较大的数字x(x∈[1,109])的欧拉函数值
虽然不需要筛法求欧拉函数了，但根据公式，还是需要筛素数
以下是筛素数之后的代码

int phi(int x){    int rtn = 1, cpy_x = x;    for(int i = 1; prime[i] * prime[i] <= cpy_x && i <= tot_prime; ++i){        int temp = 1;        while(x % prime[i] == 0){            x /= prime[i];            temp *= prime[i];        }        if(temp > 1) rtn *= temp - temp / prime[i];    }    if(x > 1) rtn *= (x - 1); // 还剩下一个很大的质数    return rtn;}

  
  

求约数的个数

相关公式

设f(x)为x的约数的个数，还是把x表示成x=Πpaii的形式
f(x)=Π(ai+1)
f(x)=2 <x∈prime>
发现f(x)也是积性函数，即f(xy)=f(x)f(y) <gcd(x,y)=1>

  

代码

为了方便，让a[i]表示x最小素数因子的个数

int tot_prime, prime[maxn];int f[maxn], a[maxn];bool vist[maxn];void get_f(){    f[1] = 1;    for(int i = 2; i <= n; ++i){        if(!vist[i]) prime[++tot_prime] = i, f[i] = 2, a[i] = 1;        for(int j = 1; i * prime[j] <= n && j <= tot_prime; ++j){            vist[i*prime[j]] = true;            if(i % prime[j] == 0){                f[i*prime[j]] = f[i] / (a[i] + 1) * (a[i] + 2);                a[i*prime[j]] = a[i] + 1;                break;            }            else f[i*prime[j]] = f[i] * f[prime[j]], a[i*prime[j]] = 1;        }    }}

  

一些解释

if(i % prime[j] == 0){    f[i*prime[j]] = f[i] / (a[i] + 1) * (a[i] + 2);    a[i*prime[j]] = a[i] + 1;    break;}

当prime[j]是i的约数时，i∗prime[j]就相当于i多了一个最小素因子，根据之前的公式，所以转移如上。

else f[i*prime[j]] = f[i] * f[prime[j]], a[i*prime[j]] = 1;

当i与prime[j]互质时，由积性知f[]转移如上。
对于a[]的转移，我是这样理解的：
我们先假设i∗prime[j]的最小素因子个数为1。
如果i∗prime[j]的最小素因子是由i提供的话，我们马上就会枚举到它的最小素因子，然后把a[i∗prime[j]]修改为正确的值。
否则i∗prime[j]的最小素因子就是prime[j]且不被i包含。这是因为首先i mod prime[j]!=0；其次，假设i∗prime[j]的最小素因子在i中，那么肯定早就break了，我们就不可能枚举到prime[j]。

  
  

求莫比乌斯函数

相关公式

μ(x)=1 <x=1>
μ(x)=−1k<x=Πki=1pi,pi的次数为1>
μ(x)=0<其他情况>
莫比乌斯函数同样是积性函数，即μ(xy)=μ(x)μ(y) <gcd(x,y)=1>。

  

代码

mu[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; ++i){    if(!vist[i]) prime[++tot_prime] = i, mu[i] = -1;    for(int j = 1; i * prime[j] <= n && j <= tot_prime; ++j)        vist[i*prime[j]] = true;        if(i % prime[j] == 0){            mu[i*prime[j]] = 0;            break;        }        else mu[i*prime[j]] = mu[i] * mu[prime[j]];}

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参考的内容：
线性筛（欧拉筛）
【数论内容】线性筛素数，线性筛欧拉函数，求前N个数的约数个数
莫比乌斯反演ppt by PoPoQQQ
xiaohao1大神的讲解与莫比乌斯反演pdf

别的一些东西：
欧拉函数
积性函数、线性筛、莫比乌斯反演和一堆乱七八糟的题目