（ACM学习笔记）POJ 1160中四边形不等式的应用

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《POJ 1160 Post Office》Staginner
《 四边形不等式优化 》Blithe
四边形不等式优化dp（POJ1160）
动态规划算法的优化技巧 毛子青

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四边形不等式

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最有代价用d[i,j]表示
d[i,j]=min{d[i,k−1]+d[k+1,j]+w[i,j]}
其中 w[i,j]=sum[i,j]
四边形不等式
 w[a,c]+w[b,d]<=w[b,c]+w[a,d](a<b<c<d) 就称其满足凸四边形不等式
决策单调性
 w[i,j]≤w[i1,j1]([i,j]∈[i1,j1])即i1≤i<j≤j1

于是有以下三个定理

• 定理一： 如果w同时满足四边形不等式 和 决策单调性 ,则d也满足四边形不等式
• 定理二：当定理一的条件满足时，让d[i,j]取最小值的k为K[i,j]，则K[i,j-1]<=K[i,j]<=K[i+1,j]
• 定理三：w为凸当且仅当w[i,j]+w[i+1,j+1]<=w[i+1,j]+w[i,j+1]

由定理三知判断w是否为凸即判断 w[i,j+1]-w[i,j]的值随着i的增加是否递减
于是求K值的时候K[i,j]只和K[i+1,j] 和 K[i,j-1]有关，所以可以以i-j递增为顺序递推各个状态值最终求得结果 将O(n^3)转为O(n^2)

证明最优解的集合s满足s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]

对s[i,j−1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]的证明：

设mk[i,j]=m[i,k]+m[k,j]，s[i,j]=d

对于任意k<d，有mk[i,j]≥md[i,j]（这里以m[i,j]=minm[i,k]+m[k,j]为例,max的类似），接下来只要证明mk[i+1,j]≥md[i+1,j]，那么只有当s[i+1,j]≥s[i,j]时才有可能有ms[i+1,j][i+1,j]≤md[i+1,j]

(mk[i+1,j]−md[i+1,j])−(mk[i,j]−md[i,j])

=(mk[i+1,j]+md[i,j])−(md[i+1,j]+mk[i,j])

=(m[i+1,k]+m[k,j]+m[i,d]+m[d,j])−(m[i+1,d]+m[d,j]+m[i,k]+m[k,j])

=(m[i+1,k]+m[i,d])−(m[i+1,d]+m[i,k])

∵m满足四边形不等式，∴对于i<i+1≤k<d有 m[i+1,k]+m[i,d]≥m[i+1,d]+m[i,k]

∴(mk[i+1,j]−md[i+1,j])≥(mk[i,j]−md[i,j])≥0

∴s[i,j]≤s[i+1,j]，同理可证s[i,j−1]≤s[i,j]

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POJ 1160

原题链接
下面内容转自毛子青大牛的《动态规划优化技巧》，是我在网上搜到的最详细的答案。为了方便我就放截图了，有兴趣可以点这个链接查看原文。