二分图最小覆盖的Konig定理及其证明

二分图：

顶点可以分类两个集合X和Y，所有的边关联在两个顶点中，恰好一个属于集合Ｘ，另一个属于集合Ｙ。

最小覆盖：

最小覆盖要求用最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。可以证明：最少的点（即覆盖数）＝最大匹配数

Konig定理：

二分图的最小顶点覆盖数等于最大匹配数。

 证明：

 为主便叙述，假设G分为左边X和右边Y两个互不相交的点集。。。。。。

假设G经过匈牙利算法后找到一个最大匹配M，则可知G中再也找不到一条增广路径。

标记右边未匹配边的顶点，并从右边未匹配边的顶点出发，按照边：未匹配->匹配->未匹配...，的原则标记途中经过的顶点，则最后一条经过的边必定为匹配边。重复上述过程，直到右边不再含有未匹配边的点。

记得到的左边已标记的点和右边未标记的点为S， 以下证明S即为所求的最小顶点集。

1。| S | == M 
    显然，左边标记的点全都为匹配边的顶点，右边未标记的点也为匹配边的顶点。因此，我们得到的点与匹配边一一对应。

2。S能覆盖G中所有的边。

       上途S中点所得到的边有以下几种情况：

       （1）左右均标记；

       （2）左右均无标记；

       （3）左边标记，右边未标记；

       若存在一条边e不属于S所覆盖的边集，则e 左边未标记右边标记。

如果e不属于匹配边，那么左端点就可以通过这条边到达（从而得到标记）；如果e属于匹配边，那么右端点不可能是一条路径的起点，于是它的标记只能是从这条边的左端点过来的左端点就应该有标记。

 

3。S是最小的覆盖。

       因为要覆盖这M条匹配边至少就需要M个点。

上文来自：http://blog.chinaunix.net/uid-22263887-id-1778976.html

首先，回顾一下二分图最小点覆盖的定义

二分图中，选取最少的点数，使这些点和所有的边都有关联（把所有的边的覆盖），叫做最小点覆盖。
最少点数=最大匹配数

结合昨天看的介绍，，今天按照我的理解给出自己的证明（原创，仅作参考，欢迎讨论）

从最大匹配数到底能不能覆盖所有的边入手。

因为已知了最大匹配，所有再也不能找到增广路了，有最大匹配定义知。

现在所有的边就剩下两种情况了，一种是匹配，一种是不匹配。

假设所有的匹配边有n条，那么左右边就都有n个匹配边的顶点了，标记所有左边匹配边的顶点，则有n个。

问题就是证明n=最小点覆盖，即证明最大匹配数n到底能不能覆盖所有的边入手。

考察右边的匹配边的顶点，明显，左边都可以找到其匹配点且为n，说明所有匹配边已经被这左边的n个点关联了。

接下来证明未匹配边也能被这左边的n个匹配的点关联那么不就证明了“，使这些点和所有的边都有关联（把所有的边的覆盖）”吗。。

对于剩下的未匹配边，每条边都有一个右边点（显然既然是未匹配边，这个点自然是未匹配点）和左边点（我将证明着些左边点都是匹配边的顶点，证明了这一点，也就证明了这左边的n个点也和剩下的未匹配边关联了）

假设上面说的左边点不在这n个匹配边的左边点之中，那从剩下的某个未匹配边的右边点出发不就可以找到增广路了吗（想想增广路的定义就知道了，右未匹配，左未匹配的话那就可以找到增广路了），所以左边点也在匹配边之中，。所以就证明了剩下的未匹配边关联的范围也在这左边的n个匹配点的范围内力了。

也就证明了这n个左边匹配边的点既也右边匹配边关联，也与右边未匹配边关联了，即与所有边关联了。

那么按照最小覆盖的定义，接下来只要证明这个n是做小值就行了。

假设可以比n小，那就相当于随便删一些匹配边，那么这些删除了边的右边点就没人匹配了，也就不满足与所以边关联了，所以矛盾，所有n就是最小值。

故得证。

主要从最小覆盖的定义的两个要点（1，能不能关联所有的边。2，最小）来证明最大匹配的所有左边点就满足这个要求，匹配边有n条那自然匹配边的左边点就有n个了。

上文来自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_5ceeb9ea0100l08n.html