椭圆 标准方程 离心率 圆的标准方程

半长轴距离为a，半焦点间的距离(简称焦距)为c  有：c^2=a^2-b^2

第1个椭圆是 到点F1(-c,0) 、F2(c,0)的距离之和=2a的点 M 的轨迹     第2个椭圆 F1(0,c) F2(0,-c)

点F1 F2为焦点

有：MF1+MF2=2a

例1: 平面内两个定点(-4,0)和(4,0) ，椭圆上有一点P到这两点的距离和为10，求点P的轨迹方程

   由题意知:  焦点在x轴；2a=10; c=4;  

   得出 a=5, c=4  =>  b^2=5^2-4^2=9

  轨迹方程：x^2/25 + y^2/9 = 1

例2：椭圆的两个焦点为(0,2)和 (0,-2), 且椭圆经过点(-3/2,5/2) ，求椭圆的标准方程

    由题意知： 焦点在y轴； 有一轨迹点P(-3/2, 5/2)；

    有点P的坐标，可以求出分别到 两个焦点的距离：

       所以 a=√10  ,  => b^2=a^2-c^2=10-4=6

     轨迹方程：y^2/10 + x^2/6=1

例3：平面内两个定点的距离是8，求到两个定点距离和为10的点的轨迹方程

     由题意知：c=4, a = 5;  则b^2= 25-16=9 

     (分母大的在长轴, 即焦点所在轴)

     若焦点在x轴：x^2/25+y^2/9=1

     若焦点在y轴：y^2/25+x^2/9=1

离心率: e=√(a^2-b^2) / a => c/a    因a>c>0  所以 椭圆离心率：0<e<1

例4：已知椭圆方程4x^2+ky^2=1，焦点在y轴，求k的取值范围

圆的标准方程：

圆的标准方程(x－a)²+(y－b)²=r²中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为（a，b），只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

X²+Y²=1 ，圆心O（0，0）被称为1单位圆；
x²+y²=r²，圆心O（0，0），半径r；
(x-a)²+(y-b)²=r²，圆心O（a，b），半径r。