AR模型
来源：互联网 发布：淘宝店铺不显示导航栏 编辑：程序博客网 时间：2024/06/03 00:22
转自：http://blog.csdn.net/xiahouzuoxin/article/details/9904147
本文目标：分析AR模型并求解AR模型的输出x(n)的功率谱。
1. AR模型概念观
数字信号处理功率谱估计方法分经典功率谱估计和现代功率谱估计，现代功率谱估计以参数模型功率谱估计为代表，参数功率谱模型如下：
u(n) ——> H(z) ——> x(n)
参数模型的基本思路是：
—— 参数模型假设研究过程是由一个输入序列u(n)激励一个线性系统H(z)的输出。
—— 由假设参数模型的输出x(n)或其自相关函数来估计H(z)的参数
—— 由H(z)的参数估计x(n)的功率谱
因此，参数模型功率谱的求解有两步：
（1）H(z)模型参数估计
（2）依据模型参数求功率谱
AR模型（自回归模型，Auto Regression Model）是典型的现代参数功模型。其定义为
其中，输入设定为方差为的白噪声序列，ak是模型的参数，p是模型的阶数，Px为x(n)功率谱，也即本文要求解的目标。
AR模型是一个全极点模型，“自回归”的含义是：现在的输出是现在的输入和过去p个输出的加权和。
现在我们希望建立AR参数模型和x(n)的自相关函数的关系，也即AR模型的正则方程：
上面的正则方程也称Yule-Walker方程，其中的rx为自相关函数。由方程可以看出，一个p阶的AR模型有p+1个参数（）。
通过推导可以发现，AR模型与线性预测器是等价的，AR模型是在最小平方意义上对数据的拟合。
2. AR模型参数求解——Levinson-Durbin Algorithm
定义我们定义初始时，则
由PART1中矩阵的对称性质，将上面的公式推广到高阶AR模型，可以推导出Levinson-Durbin递推算法：
Levinson-Durbin递推算法从低阶开始递推，，给出了每一阶次时所有参数，。这一特点有利于我们选择合适的AR模型阶次。
因为必须大于0，由式
知
，如果
，递推应该停止。
到此，选择最佳阶次的参数代入到中，求得功率谱。
3. matlab实现
matlab工具箱中提供了现成的函数实现AR模型功率谱计算。参考[2]，我们将内容摘录如下：AR模型的谱估计是现代谱估计的主要内容。
1．AR模型的Yule—Walker方程和Levinson-Durbin递推算法：在MATLAB中，函数levinson和aryule都采用Levinson-Durbin递推算法来求解AR模型的参数a1,a2,……,ap及白噪声序列的方差，只是两者的输入参数不同，它们的格式为：
A=LEVINSON(R,ORDER) A=ARYULE(x,ORDER)
两函数均为定阶ORDER的求解，但是函数levinson的输入参数要求是序列的自相关函数，而函数aryule的输入参数为采样序列。
下面语句说明函数levinson和函数aryule的功能是相同的：
例子：
randn('seed',0)
a=[1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5];
x=impz(1,a,20)+randn(20,1)/20;
r=xcorr(x,'biased');
r(1:length(x)-1)=[];
A=levinson(r,5)
B=aryule(x,5)
2．Burg算法：
格式为：A=ARBURG(x,ORDER); 其中x为有限长序列，参数ORDER用于指定AR模型的阶数。以上面的例子为例：
randn('seed',0)
a=[1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5];
x=impz(1,a,20)+randn(20,1)/20;
A=arburg(x,5)
3.改进的协方差法：
格式为：A=ARMCOV(x,ORDER); 该函数用来计算有限长序列x(n)的ORDER阶AR模型的参数。例如：输入下面语句：
randn('seed',0)
a=[1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5];
x=impz(1,a,20)+randn(20,1)/20;
A=armcov(x,5)
AR模型阶数P的选择：
AR模型阶数P一般事先是不知道的，需要事先选定一个较大的值，在递推的过程中确定。在使用Levinson—Durbin递推方法时，可以给出由低阶到高阶的每一组参数，且模型的最小预测误差功率Pmin（相当于白噪声序列的方差）是递减的。直观上讲，当预测误差功率P达到指定的希望值时，或是不再发生变化时，这时的阶数即是应选的正确阶数。
因为预测误差功率P是单调下降的，因此，该值降到多少才合适，往往不好选择。比较常见的准则是：
最终预测误差准则：FPE(r)=Pr{[N+(r+1)]/ [N-(r+1)]}
信息论准则：AIC(r)=N*log(Pr)+2*r
上面的N为有限长序列x(n)的长度，当阶数r由1增加时，FPE(r) 和AIC(r)都将在某一r处取得极小值。将此时的r定为最合适的阶数p。
MATLAB中AR模型的谱估计的函数说明：
1． Pyulear函数：
功能：利用Yule--Walker方法进行功率谱估计.
格式： Pxx=Pyulear(x,ORDER,NFFT)
[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT)
[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs)
Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)
说明：Pxx =Pyulear(x,ORDER,NFFT)中，采用Yule--Walker方法估计序列x的功率谱，参数ORDER用来指定AR模型的阶数，NFFT为FFT算法的长度，默认值为256，若NFFT为偶数，则Pxx为（NFFT/2 + 1）维的列矢量，若NFFT为奇数，则Pxx为（NFFT + 1）/2维的列矢量；当x为复数时，Pxx长度为NFFT。
[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT)中，返回一个频率向量W.
[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs)中，可以在F向量得到功率谱估计的频率点，Fs指定采样频率。
Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)中，直接画出功率谱估计的曲线图。
2． Pburg函数：
功能：利用Burg方法进行功率谱估计。
格式：Pxx=Pburg(x,ORDER,NFFT)
[Pxx,W]=Pburg(x,ORDER,NFFT)
[Pxx,W]=Pburg(x,ORDER,NFFT,Fs)
Pburg(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)
说明：Pburg函数与Pyulear函数格式相同，只是计算AR模型时所采用的方法不同，因此格式可以参照Pyulear函数。
3． Pcov函数：
功能：利用协方差方法进行功率谱估计。
格式：Pxx=Pcov(x,ORDER,NFFT)
[Pxx,W]=Pcov(x,ORDER,NFFT)
[Pxx,W]=Pcov(x,ORDER,NFFT,Fs)
Pcov(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)
说明：Pcov函数采用协方差法估计AR模型的参数，然后计算序列x的功率谱。协方差法与改进的协方差法相比，前者仅令前向预测误差为最小，其他步骤是一样的。：Pcov函数与Pyulear函数格式相同，只是计算AR模型时所采用的方法不同，因此格式可以参照Pyulear函数.
4.Pmcov:
功能：利用改进的协方差方法进行功率谱估计。
格式：Pxx=Pmcov(x,ORDER,NFFT)
[Pxx,W]=Pmcov(x,ORDER,NFFT)
[Pxx,W]=Pmcov(x,ORDER,NFFT,Fs)
Pmcov(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)
例如：输入下面语句：
figure 8.10--8.11
Fs=1000; %采样频率
n=0:1/Fs:3;
xn=cos(2*pi*n*200)+randn(size(n));
%设置参数
order=20;
nfft=1024;
%Yule-Walker方法
figure(1)
pyulear(xn,order,nfft,Fs);
%Burg方法
figure(2)
pburg(xn,order,nfft,Fs);
%协方差法
figure(3)
pcov(xn,order,nfft,Fs);
%改进协方差方法
figure(4)
pmcov(xn,order,nfft,Fs);
AR谱的分辨率：
经典谱估计的分辨率反比与信号的有效长度,但是现代谱估计的分辨率可以不受此限制. 这是因为对于给定的N点有限长序列x(n)，虽然其估计出的相关函数也是有限长的，但是现代谱估计的一些方法隐含着数据和自相关函数的外推，使其可能的长度超过给定的长度，因而AR谱的分辨率较高。
例如：序列x(n)由两个正铉信号组成，其频率分别为f1=20Hz和f2=21Hz,并含有一定的噪声量。试分别用周期图法，Burg方法与改进的协方差法估计信号的功率谱，且AR模型的阶数取30和50两种情况讨论。
上面的例子可以通过下面程序实现：
Fs=200;
n=0:1/Fs:1;
xn=sin(2*pi*20*n)+sin(2*pi*21*n)+0.1*randn(size(n));
window=boxcar(length(xn));
nfft=512;
[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);
figure(1)
plot(f,10*log10(Pxx)),grid
xlabel('Frequency(Hz)')
ylabel('Power Spectral Density(dB/Hz)')
title('Periodogram PSD Estimate')
order1=30;
order2=50;
figure(2)
pburg(xn,order1,nfft,Fs)
figure(3)
pburg(xn,order2,nfft,Fs)
figure(4)
pmcov(xn,order1,nfft,Fs)
figure(5)
pmcov(xn,order1,nfft)
4. C语言实现
- /*
- * ar_model.h
- *
- * Created on: 2013-8-11
- * Author: monkeyzx
- */
- #ifndef AR_MODEL_H_
- #define AR_MODEL_H_
- typedef struct {
- float real;
- float imag;
- } complex;
- extern void maryuwa(complex x[],complex a[],complex r[],int n,int ip,
- float *ep,int *ierror);
- extern void mpsplot(float psdr[],float psdi[],int mfre,float ts);
- extern void zx_ar_model(void);
- #endif /* AR_MODEL_H_ */
- /*
- * ar_model.c
- *
- * Created on: 2013-8-11
- * Author: monkeyzx
- */
- #include <stdio.h>
- #include <stdlib.h>
- #include <math.h>
- #include <stdlib.h>
- //#include "msp.h"
- #include "ar_model.h"
- #include "time.h"
- float mabs(complex a)
- {
- float m;
- m=a.real*a.real+a.imag*a.imag;
- m=sqrt(m);
- return(m);
- }
- /*---------------------------------------------------------------------
- Routine MCORRE1:To estimate the biased cross-correlation function
- of complex arrays x and y. If y=x,then it is auto-correlation.
- input parameters:
- x :n dimensioned complex array.
- y :n dimensioned complex array.
- n :the dimension of x and y.
- lag:point numbers of correlation.
- output parameters:
- r :lag dimensioned complex array, the correlation function is
- stored in r(0) to r(lag-1).
- in Chapter 1 and 11
- ---------------------------------------------------------------------*/
- void mcorre1(complex x[],complex y[],complex r[],int n,int lag)
- {
- int m,j,k;
- for(k=0;k<lag;k++) {
- m=n-1-k;
- r[k].real=0.0f;
- r[k].imag=0.0f;
- for(j=0;j<=m;j++) {
- r[k].real+=y[j+k].real*x[j].real+y[j+k].imag*x[j].imag;
- r[k].imag+=y[j+k].imag*x[j].real-y[j+k].real*x[j].imag;
- }
- r[k].real=r[k].real/n;
- r[k].imag=r[k].imag/n;
- }
- return;
- }
- /*---------------------------------------------------------------------
- Routine maryuwa: To determine the autoregressive coefficients by
- solving Yule-Walker equation with Levinson algorithm.
- Input Parameters:
- n : Number of data samples (integer)
- ip : Order of autoregressive model
- x : Array of complex data values, x(0) to x(n-1)
- Output Parameters:
- ep : Driving noise variance (real)
- a : Array of complex autoregressive coefficients, a(0) to
- a(ip)
- ierror=0 : No error
- =1 : ep<=0 .
- r : complex work array, auto-correlation
- in chapter 12
- --------------------------------------------------------------------*/
- void maryuwa(complex x[],complex a[],complex r[],int n,int ip,
- float *ep,int *ierror)
- {
- complex sum;
- int i,k;
- float r0;
- *ierror=1;
- mcorre1(x,x,r,n,ip+1);
- a[0].real=1.0;
- a[0].imag=0.0;
- r0=r[0].real;
- a[1].real=-r[1].real/r0;
- a[1].imag=-r[1].imag/r0;
- *ep=r0*(1.0f-pow(mabs(a[1]),2));
- for(k=2;k<=ip;k++) {
- sum.real=0.;
- sum.imag=0.;
- for(i=1;i<k;i++) {
- sum.real+=r[k-i].real*a[i].real-r[k-i].imag*a[i].imag;
- sum.imag+=r[k-i].real*a[i].imag+r[k-i].imag*a[i].real;
- }
- sum.real+=r[k].real;
- sum.imag+=r[k].imag;
- a[k].real=-sum.real/(*ep);
- a[k].imag=-sum.imag/(*ep);
- (*ep)*=1.-pow(mabs(a[k]),2);
- if(*ep<=0.0)
- return;
- for(i=1;i<k;i++) {
- x[i].real=a[i].real+a[k-i].real*a[k].real+
- a[k-i].imag*a[k].imag;
- x[i].imag=a[i].imag+a[k-i].real*a[k].imag-
- a[k-i].imag*a[k].real;
- }
- for(i=1;i<k;i++) {
- a[i].real=x[i].real;
- a[i].imag=x[i].imag;
- }
- }
- *ierror=0;
- }
- /*----------------------------------------------------------------------
- routinue mrelfft:To perform split-radix DIF fft algorithm.
- input parameters:
- xr,xi:real and image part of complex data for DFT/IDFT,n=0,...,N-1
- N :Data point number of DFT compute .
- isign:Transform direction disignator ,
- isign=-1: For Forward Transform.
- isign=+1: For Inverse Transform.
- output parameters:
- xr,xi:real and image part of complex result of DFT/IDFT,n=0,...,N-1
- Note: N must be a power of 2 .
- in chapter 5
- ---------------------------------------------------------------------*/
- void mrelfft(float xr[],float xi[],int n,int isign)
- {
- float e,es,cc1,ss1,cc3,ss3,r1,s1,r2,s2,s3,xtr,xti,a,a3;
- int m,n2,n4,j,k,is,id,i0,i1,i2,i3,n1,i,nn;
- for(m=1;m<=16;m++) {
- nn=pow(2,m);
- if(n==nn)break;
- }
- if(m>16) {
- #ifdef _DEBUG
- printf(" N is not a power of 2 ! \n");
- #endif
- return;
- }
- n2=n*2;
- es=-isign*atan(1.0)*8.0;
- for(k=1;k<m;k++) {
- n2=n2/2;
- n4=n2/4;
- e=es/n2;
- a=0.0;
- for(j=0;j<n4;j++) {
- a3=3*a;
- cc1=cos(a);
- ss1=sin(a);
- cc3=cos(a3);
- ss3=sin(a3);
- a=(j+1)*e;
- is=j;
- id=2*n2;
- do {
- for(i0=is;i0<n;i0+=id) {
- i1=i0+n4;
- i2=i1+n4;
- i3=i2+n4;
- r1=xr[i0]-xr[i2];
- s1=xi[i0]-xi[i2];
- r2=xr[i1]-xr[i3];
- s2=xi[i1]-xi[i3];
- xr[i0]+=xr[i2];
- xi[i0]+=xi[i2];
- xr[i1]+=xr[i3];
- xi[i1]+=xi[i3];
- if(isign!=1) {
- s3=r1-s2;
- r1=r1+s2;
- s2=r2-s1;
- r2=r2+s1;
- } else {
- s3=r1+s2;
- r1=r1-s2;
- s2=-r2-s1;
- r2=-r2+s1;
- }
- xr[i2]=r1*cc1-s2*ss1;
- xi[i2]=-s2*cc1-r1*ss1;
- xr[i3]=s3*cc3+r2*ss3;
- xi[i3]=r2*cc3-s3*ss3;
- }
- is=2*id-n2+j;
- id=4*id;
- }while(is<n-1);
- }
- }
- /* ------------ special last stage -------------------------*/
- is=0;
- id=4;
- do {
- for(i0=is;i0<n;i0+=id) {
- i1=i0+1;
- xtr=xr[i0];
- xti=xi[i0];
- xr[i0]=xtr+xr[i1];
- xi[i0]=xti+xi[i1];
- xr[i1]=xtr-xr[i1];
- xi[i1]=xti-xi[i1];
- }
- is=2*id-2;
- id=4*id;
- } while(is<n-1);
- j=1;
- n1=n-1;
- for(i=1;i<=n1;i++) {
- if(i<j) {
- xtr=xr[j-1];
- xti=xi[j-1];
- xr[j-1]=xr[i-1];
- xi[j-1]=xi[i-1];
- xr[i-1]=xtr;
- xi[i-1]=xti;
- }
- k=n/2;
- while(1) {
- if(k>=j)break;
- j=j-k;
- k=k/2;
- }
- j=j+k;
- }
- if(isign==-1) return;
- for(i=0;i<n;i++) {
- xr[i]/=n;
- xi[i]/=n;
- }
- }
- /*---------------------------------------------------------------------
- Routine mpsplot: To plot the normalized power spectum curve on the
- normalized frequency axis from -.5 to +.5 .
- mfre : Points in frequency axis and must be the power of 2.
- ts : Sample interval in seconds (real).
- psdr : Real array of power spectral density values.
- psdi : Real work array.
- in chapter 11,12
- --------------------------------------------------------------------*/
- void mpsplot(float psdr[],float psdi[],int mfre,float ts)
- {
- FILE *fp;
- char filename[30];
- int k,m2;
- float pmax,fs,faxis;
- m2=mfre/2;
- for(k=0;k<m2;k++){
- psdi[k]=psdr[k];
- psdr[k]=psdr[k+m2];
- psdr[k+m2]=psdi[k];
- }
- pmax=psdr[0];
- for(k=1;k<mfre;k++)
- if(psdr[k]>pmax)
- pmax=psdr[k];
- for(k=0;k<mfre;k++) {
- psdr[k]=psdr[k]/pmax;
- if(psdr[k]<=0.0)
- psdr[k]=.000001;
- }
- fs=1./ts;
- fs=fs/(float)(mfre);
- printf("Please input filename:\n");
- scanf("%s",filename);
- if((fp=fopen(filename,"w"))==NULL) {
- printf("cannot open file\n");
- exit(0);
- }
- for(k=0;k<mfre;k++) {
- faxis=fs*(k-m2);
- fprintf(fp,"%f,%f\n",faxis,10.*log10(psdr[k]));
- }
- fclose(fp);
- return;
- }
- /*----------------------------------------------------------------------
- Routine mar1psd: To compute the power spectum by AR-model parameters.
- Input parameters:
- ip : AR model order (integer)
- ep : White noise variance of model input (real)
- ts : Sample interval in seconds (real)
- a : Complex array of AR parameters a(0) to a(ip)
- Output parameters:
- psdr : Real array of power spectral density values
- psdi : Real work array
- in chapter 12
- ---------------------------------------------------------------------*/
- void mar1psd(complex a[],int ip,int mfre,float *ep,float ts)
- {
- static float psdr[4096];
- static float psdi[4096];
- int k;
- float p;
- for(k=0;k<=ip;k++) {
- psdr[k]=a[k].real;
- psdi[k]=a[k].imag;
- }
- for(k=ip+1;k<mfre;k++) {
- psdr[k]=0.;
- psdi[k]=0.;
- }
- mrelfft(psdr,psdi,mfre,-1);
- for(k=0;k<mfre;k++) {
- p=pow(psdr[k],2)+pow(psdi[k],2);
- psdr[k]=(*ep)*ts/p;
- }
- mpsplot(psdr,psdi,mfre,ts);
- return;
- }
- /*
- * Below are examples for using @maryuwa and @mar1psd
- */
- #define PI (3.1415926)
- #define N (1024)
- #define AN (10)
- complex x[N];
- complex r[N];
- complex a[AN];
- /*
- * generate random number which satify guass distribution
- */
- double guass_rand(void)
- {
- static double V1, V2, S;
- static int phase = 0;
- double X;
- if ( phase == 0 ) {
- do {
- double U1 = (double)rand() / RAND_MAX;
- double U2 = (double)rand() / RAND_MAX;
- V1 = 2 * U1 - 1;
- V2 = 2 * U2 - 1;
- S = V1 * V1 + V2 * V2;
- } while(S >= 1 || S == 0);
- X = V1 * sqrt(-2 * log(S) / S);
- } else {
- X = V2 * sqrt(-2 * log(S) / S);
- }
- phase = 1 - phase;
- return X;
- }
- void zx_ar_model(void)
- {
- int i=0;
- float ep = 0;
- int ierror = 0;
- /*
- * generate x[N]
- */
- srand(time(NULL));
- for (i=0; i<N; i++) {
- x[i].real = sin(2*PI*i/N) + guass_rand();
- x[i].imag = 0;
- }
- /* Find parameters for AR model */
- maryuwa(x, a, r, N, AN, &ep, &ierror);
- /* Calculate power spectum using parameters of AR model */
- mar1psd(a, AN, N, &ep, 1);
- }
- /*
- * main.c
- *
- * Created on: 2013-8-11
- * Author: monkeyzx
- */
- #include "ar_model.h"
- int main(void)
- {
- zx_ar_model();
- return 0;
- }
上面的实例中给定输入信号为余弦信号，采样点数为1024个点，通过计算后的功率谱通过mpsplot函数保存到文本文件output.txt中，保存格式如下：
-0.500000,-15.334630
-0.499023,-15.334833
-0.498047,-15.335444
-0.497070,-15.336456
-0.496094,-15.337864
-0.495117,-15.339655
-0.494141,-15.341816
-0.493164,-15.344331
-0.492188,-15.347179
-0.491211,-15.350342
-0.490234,-15.353794
-0.489258,-15.357505
-0.488281,-15.361453
-0.487305,-15.365603
-0.486328,-15.369924
-0.485352,-15.374381
......
最后借助matlab读取该文件，绘制出功率谱的图形
- data = load('output.txt');
- plot(data(:,1),data(:,2));
关于上面的C程序，这里只提与主题无关的，double guass_rand(void)是C语言中典型的生成高斯分布随机数的发生器，这里用于在余弦函数上加上一个高斯的噪声。关于更多的随机数生成器可参考关于怎样产生随机数的彻底研究 [自行理解]，我将该博文转载过来，感谢作者。
Refrences：
[1] 胡广书《数字信号处理——理论、算法与实现 第二版》
[2] AR模型matlab相关函数描述http://blog.sina.com.cn/s/blog_62f573ad0100sfh1.html
- AR模型
- AR模型
- AR模型
- Yii AR模型
- R 语言 ar模型
- AR模型方法
- 最小二乘法求AR模型
- AR模型(Autoregress)
- CI AR模型
- AR模型原理
- AR模型的最佳预测
- 拟合AR模型的代码
- 【Yii】AR模型和db
- AR模型的谱估计
- Yii模型 AR(ActiveRecord)学习总结
- yii AR模型内置验证类说明
- 现代数字信号处理——AR模型
- AR模型的谱估计（转）
- 欢迎使用CSDN-markdown编辑器
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- Android Studio应用指南
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- leetcode-123 Best Time to Buy and Sell Stock III
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- [leetcode][tree] Binary Tree Level Order Traversal
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