数字
来源:互联网 发布:新手学炒股 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/19 23:15
1、整型数V的二进制中1的个数
//普通解法:除以2,看余数
int Count(int v)
{
int num = 0;
while(v)
{
if(v % 2 == 1)
++ num;
v /= 2;
}
return num;
}
//使用位移
int Count(int v)
{
int num = 0;
while(v)
{
num += v & 1;
v >>= 1;
}
return num;
}
位移的思路,当输入i是正数时没有问题,但当输入的i是一个负数时,不但不能得到正确的1的个数,还将导致死循环。以负数0x80000000为例,右移一位的时候,并不是简单地把最高位的1移到第二位变成0x40000000,而是0xC0000000。这是因为移位前是个负数,仍然要保证移位后是个负数,因此移位后的最高位会设为1。如果一直做右移运算,最终这个数字就会变成0xFFFFFFFF而陷入死循环。
为了避免死循环,我们可以不右移输入的数字i。首先i和1做与运算,判断i的最低位是不是为1。接着把1左移一位得到2,再和i做与运算,就能判断i的次高位是不是1……这样反复左移,每次都能判断i的其中一位是不是1。基于此,我们得到如下代码:
int Count1(int v)
{
int num = 0;
unsigned int flag = 1;
while(flag)
{
if(v & flag)
++ num;
flag <<= 1;
}
return num;
}
整数A 和B 的二进制表示中有多少位是不同的?
把两个整数 A, B 异或, 然后又回归到判断 1 的个数
int Count(int a,int b)
{
int num = 0;
int v = a ^ b;
while(v)
{
v &= (v-1);
num++;
}
return num;
}
整数n,判断它是否为2的方幂(即二进制中只有一个1)
解答:n>0 &&(n&(n-1)==0)
原理:由于2的N次方的数二进制表示是第1位为1,其余为0,而x-1(假如x为2的N次方)得到的数的二进制表示恰恰是第1位为0,其余为1,两者相与,得到的结果就为0,否则结果肯定不为0
2、N的阶乘中末尾有几个0
如果N!= K×10M,且K不能被10整除,那么N!末尾有M个0。再考虑对N!进行质因数分解,N!=(2^x)×(3^y)×(5^z)…,由于10 = 2×5,所以M只跟X和Z相关,每一对2和5相乘可以得到一个10,于是M = min(X, Z)。不难看出X大于等于Z,因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多,所以把公式简化为M = Z。问题相当于求N!中有质因数5的个数
//直接计算i(i=1,2,...,N)的因式分解中5的指数
int numberOfFive(int N)
{
int ret = 0;
for(int i =1; i <= N; i++)
{
int j = i;
while(j%5 ==0)
{
ret++;
j /= 5;
}
}
return ret;
}
// N!中含有质因数5的个数: Z = [N/5] +[N/5^2] + [N/5^3]+...
int numberOfFive2(int N)
{
int ret = 0;
while(N)
{
ret += N / 5;
N /= 5;
}
return ret;
}
N!的二进制表示中最低位1的位置。给定一个整数N,求N!二进制表示的最低位1在第几位?例如:给定N=3,N!=6,那么N!的二进制表示(110)的最低位1在第二位。
这个问题实际上等同于求N!含有质因数2的个数。即答案等于N!含有质因数2的个数加1。
N!中含有质因数2的个数,等于 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …
int lowestOne(int N)
{
int ret = 0;
while(N)
{
N >>= 1;
ret += N;
}
return ret;
}
3、1的个数
给定一个整数n,求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。
例如输入12,从1到12这些整数中包含1 的数字有1,10,11和12,1一共出现了5次。
//统计一个整数的十进制表示中1出现的次数
unsigned intCountOneInAInteger(unsignedint n)
{
unsigned int count = 0;
while(n)
{
if(n % 10 == 1)
count++;
n /= 10;
}
return count;
}
//统计从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数
unsigned intCountOneBitween1AndN_Solution1(unsignedint n)
{
unsigned int count = 0;
for(unsigned int i = 1; i <= n; i++)
count += CountOneInAInteger(i); //穷举法
return count;
}
//优化的算法,来自《编程之美》,比较麻烦,只能看明白
unsigned intCountOneBitween1AndN_Solution2(unsignedint n)
{
unsigned int count = 0;
unsigned int factor = 1; //计算每一位上出现1的次数,从个位开始
//每一位上出现1的次数与它的高位数字、低位数字、以及自身都有关系
//比如12345,如果计算百位上出现1的次数,这要考虑高位数字12,以及低位数字45有关
unsigned int lowNum = 0; //低位数字
unsigned int highNum = 0; //高位数字
unsigned int curNum = 0; //当前位
while(n / factor != 0)
{
lowNum = n - (n / factor) *factor;
highNum = n / (factor * 10);
curNum = (n / factor) % 10;
switch(curNum)
{
case 0: //当前位的数字为 0
count += highNum * factor; //只与高位有关
break;
case 1:
count += highNum * factor + lowNum+ 1; //与高位低位都有关
break;
default:
count += (highNum + 1) * factor;//与高位有关
break;
}
factor *= 10; //计算下一位
}
return count;
}
4、最大公约数
//辗转相除法:f(x, y)= f(y, x % y)(y>0)
int gcd(int x,int y)
{
if(y == 0)
return x;
else return gcd(y, x%y);
}
//辗转相减法:f(x, y)= f(x-y, y)(x>y)
int gcd(int x,int y)
{
if(x < y)
return gcd(y, x);
if(y == 0)
return x;
else
return gcd(x - y, y);
}
/*
x is even, y is even, f(x, y) =2 * f(x>>1, y>>1)
x is even, y is odd, f(x,y) =f(x>>1, y)
x is odd, y is even, f(x,y) =f(x, y>>1)
x is odd, y is odd, f(x,y) =f(y, x-y)
*/
int gcd(int x,int y)
{
if(x < y)
return gcd(y, x);
if(y == 0)
return x;
else
{
if(IsEven(x))
{
if(IsEven(y))
return (gcd(x >> 1, y >> 1) << 1);
else
return gcd(x >> 1, y);
}
else
{
if(IsEven(y))
return gcd(x, y >>1);
else
return gcd(y, x - y);
}
}
}
5、判断一个自然数N是否是某个数的平方。当然不能使用开方sqrt()函数运算。
方法1:遍历从1到N的数字,求取平方并和N进行比较。如果平方小于N,则继续遍历;如果等于N,则成功退出;如果大于N,则失败退出。时间复杂度为O(n)。
方法2:使用二分查找法,对1到N之间的数字进行判断。复杂度为O(logN)。
unsigned int sqrt(unsigned int x)
{
// x的最大值不超过max*max
unsigned int max = (1 << (sizeof(x)/2*8))-1;//65535
if (max*max < x) return max;
unsigned int low = 0;
unsigned int high = max-1;
unsigned int mid = 0;
while(1)
{
mid = (low+high)/2;
if (x < mid * mid)
high = mid-1;
else if((mid+1)*(mid+1) <= x)
low = mid+1;
else //if(mid *mid <= x && x < (mid+1)*(mid+1))
break;
}
return mid;
}
方法3:由于(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 = ...= 1 + (2*1 +1) + (2*2 + 1) + ... + (2*n + 1)
注意到这些项构成了等差数列(每项之间相差2),所以我们可以比较 N-1, N - 1 - 3, N - 1 - 3 - 5 ... 和0的关系。如果大于0,则继续减;如果等于0,则成功退出;如果小于 0,则失败退出。
复杂度为O(n)。不过方法3中利用加减法替换掉了方法1中的乘法,所以速度会更快些。
int square(int n)
{
int i = 1;
n = n - i;
while(n > 0)
{
i += 2;
n -= i;
}
if(n == 0) //是某个数的平方
return 1;
else //不是某个数的平方
return 0;
}
6、怎么能随即生成m个数,让其和等于n?
题目:假设生成26个非负随机数,要求其和是301,求程序生成此列数字
解法一:关于此种算法原理,可以假想是一根长301单位的绳子,然后随即在其上面截25个点,于是得到26根子绳,这26根子绳之和恰好就是绳子总长301。
于是可以:
1 初始化27的数组
2 该数组0位和26位分别为0和301,其他位置填充0到301之间的随机数字
3 对数组排序
4 数组相邻数字相减,所得的26个差值即为所求数列。
解法二:这种方案利用了非负这个不显眼的条件,思路非常简单,就是将1随机加到一个26位数组中,随机301次,有点剑走偏锋,另辟蹊径。
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