原根



定义：设，，使得成立的最小的，称为对模的阶，记为。

定理：如果模有原根，那么它一共有个原根。

定理：若，，，则。

定理：如果为素数，那么素数一定存在原根，并且模的原根的个数为。

定理：设是正整数，是整数，若模的阶等于，则称为模的一个原根。

   假设一个数对于模来说是原根，那么的结果两两不同,且有，那么可以称为是模的一个原根，归根到底就是当且仅当指数为的时候成立。（这里是素数）

模有原根的充要条件：，其中是奇素数。

 

求模素数原根的方法：对素因子分解，即是的标准分解式，若恒有

          

成立，则就是的原根。（对于合数求原根，只需把换成即可）

/*********************求一个数的原根(一)p是一个质数p-1 = p1^a1*p1*a2*...*pk^ak;对于所有的pi都有g^((p-1)/pi)!=1(mod p);那么g是模p的一个原根(二) p是一个合数将p-1改成phi(p)就行了。**********************/#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int maxn = 50010;typedef long long LL;int p[maxn],cnt;void divide(int n){    cnt=0;    for(int i=2;i*i<=n;i++){        if(n%i==0){            p[cnt++]=i;            while(n%i==0) n/=i;        }    }    if(n>1) p[cnt++]=n;}LL quick_mod(LL a,LL b,LL m){    LL ans = 1;    a%=m;    while(b){        if(b&1){            ans = ans*a%m;            b--;        }        b>>=1;        a=a*a%m;    }    return ans;}int main(){    int n;    while(~scanf("%lld",&n)){        divide(n-1);        for(int i=2;i<n;i++){            bool tag = 0;            for(int j=0;j<cnt;j++){                if(quick_mod(i,(n-1)/p[j],n)==1){                    tag = 1;                    break;                }            }            if(!tag){                printf("%d\n",i);                break;            }        }    }    return 0;}