齐次坐标与物体变换操作

齐次坐标

我们在上一小节中介绍了平移、旋转和缩放三种几何变换，同时我们导出出它们各自的变换矩阵为：

平移变换 P‘=P+Tm

旋转变换 P’=P X Tr

缩放变换  P‘=P X Ts

可以看出，平移变换的处理方法与其他两种变换的形式不一样，但我们希望能够用一致的方法来处理这三种变换，使得这三种变换组合在一起完成各种复杂的组合变换。为了解决这个问题，人们引入了齐次坐标的概念。

齐次坐标的基本思想是把一个n维空间的几何问题，转移到n+1维空间去解决，也就是说用n+1个分量去表示一个有n个分量的向量的方法称为齐次坐标表示。对于二维空间，只要给出一个点的齐次坐标表示（x,y,h）,就能得到这个点的二维直角坐标为（x/h,y/h）。

齐次坐标表示不是唯一的，通常当h=1时，称为规格化齐次坐标。在计算机图形中我们通常采用的是规格化齐次坐标。

使用齐次坐标的另一个好处是，能够表示n维空间中的无穷远点，即（x1,x2,...,xn,0）表示n维空间中无穷远点，而它在n+1维空间中该点是在有限区域内的。有了上面的齐次坐标的概念，我们就可以把上面三种变换的形式统一起来。

（1）平移变换

（2）旋转变换

（3）缩放变换

三维几何变换

在三维空间中，如果给定一个点的齐次坐标为（x,y,z,h），那么我们就可以得到该点的笛卡尔坐标为：（x/h,y/h,z/h）。当h=0时，齐次坐标（x,y,z,0）表示三维空间中的无穷远点，当h=1时即为规格化齐次人体坐标。

（1）平移变换 

变换矩阵：

（2）旋转变换

绕X轴逆时针旋转a度

变换矩阵

绕Y轴逆时针旋转B度

变换矩阵

绕Z轴逆时针旋转r度

变换矩阵

（3）缩放变换

变换矩阵