求两个有序整型数组元素和的第K大值

今天与人讨论问题，发现一个很有意思的题目：给定两个有序的整型数组，要求在最优的情况下找到两个数组元素求和后的第K大的值。

1、刚开始遇到这个问题，我直观的想法就是分配一个数组保存两个数组元素的和，然后利用找有序数组中第K大元素的方法进行求解。然后分析了一下时间和空间复杂度，假设原始的两个有序数组分别为A和B，对应的长度为m和n，那么A和B中元素和就有m*n个，即我们需要分配一个新的数组C[m*n]保存对应的元素和，填满C数组的时间开销为O(m*n)，然后在C中找第K大的元素，最快的时间复杂度为线性的，所以该方案的时间复杂度为O(m*n)，空间复杂度为O(m*n)。

如果m和n很大时，时间复杂度与空间复杂度都会很大，那么我们能不能进行优化呢？一般我们求解一个数组中的元素都会采用“二分”的方法，那么我们这个题目能不能采用这种策略呢？

2、答案是肯定的。因为A和B是两个有序数组，所以A[0]+B[0]会是所有和的最小值，不妨记为min，同时，A[m-1]+B[n-1]对应所有和的最大值，不妨记为max，那么我们要求的第K大值肯定在[min, max]区间中，我们不妨设第K大的值为C[K]，所以我们可以在区间[min, max]通过二分查找C[K]，因为[min, max]之间可能有很多重复元素，所以我们在查找C[K]的过程中可以通过判断区间中有多少元素大于这个C[K]。如果比C[K]大的元素小于K个，而且比其小的元素也不到m*n-K个，那么C[K]就是我们要求的值。如果比C[K]大的元素超过K个，那么我们就只需要在[mid, max]中找第K大的元素。如果比C[K]大的元素小于K个，那么需要在[min, mid-1]中找第(K-Count(C[K] + mid))大的元素。这样原问题就转化为统计多少个数的和大于C[K]。

对于这个问题，可以采取遍历其中一个数组的方式，假如遍历数组A，然后利用二分在B中找C[K]-A[i]对应的元素，从而计算出相应的个数。因为A，B有序，所以如果找到A[i]+B[j]>C[K]，那么A[p] + B[j] (i<p<=m)都会大于C[K]，同理，A[i] + B[q] (j<q<=n)都会大于C[K]。利用这个规则可以简化我们的计数。

程序JAVA源代码如下：

<span style="white-space:pre"></span>public int getKthSum(int[] A, int[] B, int K) {if(A.length == 0 && B.length == 0)return 0; if(A.length == 0) return K>1 ? B[K-1] : 0;if(B.length == 0)return K>1 ? A[K-1] : 0;if(K == 0)return 0;int m = A.length - 1;int n = B.length - 1;int min = A[0] + B[0], max = A[m] + B[n];while(min < max) {int mid = (max + min) >>> 1;int count = Count(mid, A, m, B, n);if(count >= K) {min = mid + 1;} else {max = mid;}}return min;}/** * 计算A和B的和中比value大的元素的个数有多少 * @param value * @return */public int Count(int value, int[] A, int m, int[] B, int n) {int count = 0;for(int i=0, j=n; i<=m && j>=0;) {if(A[i] + B[j] > value) {count += m - i + 1;  //因为A[p]+B[j]>value, i<p<=mj--;} else i++;}return count;}

时间复杂度分析：二分法时间复杂度为O(log(max-min))，计算比C[K]大的元素个数的时间开销为O(m+n)，因为两者为嵌套关系，所以总的时间复杂度为O((m+n)log(max-min))。

空间复杂度为O(1)。