sgu208：Toral Tickets(Pólya定理)

题意简述：给你N和M，对于一个N∗M的单面方格纸你可以对它的每

个个格子黑白染色，然后把方格纸的长边卷起来，卷成一个圆柱体，然后再把

两个短边形成的圆也接起来，形成一个游泳圈的形状（我们染的色只在游泳圈

的外表面）。如果对于两种黑白染色方案，通过卷成这样的游泳圈后，是一样

的，则这两种方案也是一样的。给定N，M<=20，求染色方案总数.

分析：
首先我们得会Pólya定理，参见http://wenku.baidu.com/view/bf92a95f804d2b160b4ec0be.html

根据题目的要求，分两种情况：

①若N=M，那么就有翻转0o,90o,180o,270o与上下移动，左右移动共N∗M∗2∗2种置换；

②若N≠M，那么就有翻转0o,180o与上下移动，左右移动共N∗M∗2种置换；

根据Pólya定理，我们分三步：

①暴力搜出所有置换；

②搜出所有置换的循环；

③把答案累加后除以置换数。

时间复杂度：
①O(N∗M)②O(N∗M)
因此总的为O((N∗M)2)

ps.我们需要写高精度，可以预处理2的幂来进行加速。

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int MAXN = 29;const int MAXM = 29;const int MAXL = 200;int n, m;int G;bool check_square;int ex[MAXN*MAXM];struct bigNum{    int a[MAXL];    bigNum(){memset(a, 0, sizeof(a));a[0] = 1;}    inline void operator += (const bigNum &add)    {        a[0] = max(a[0], add.a[0]);        for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)        {            a[i] += add.a[i];            a[i+1] += a[i]/10;            a[i] %= 10;         }        if(a[a[0]+1]) a[0]++;    }    inline void operator /= (int k)    {        for(int i = a[0]; i > 0; --i)        {            a[i-1] += a[i]%k*10;            a[i] /= k;          }        for(; a[0] > 0; --a[0])            if(a[a[0]]) return ;    }    inline void print()    {        for(int i = a[0]; i > 0; --i)            printf("%d", a[i]);     }}ans, pow2[MAXN*MAXM];inline void init(){    scanf("%d%d", &n, &m);    if(n == m) G = n*m*4, check_square = true;    else G = n*m*2;    for(int i = 1; i <= n*m; ++i)        ex[i] = i;}inline int calc(){    int re = 0;    bool hash[MAXN*MAXM] = {false};    for(int i = 1; i <= n*m; ++i)        if(!hash[i])        {            for(int j = i; !hash[j]; j = ex[j])                hash[j] = true;            re++;        }    return re;}inline void rotate(){    int nex[MAXN*MAXM] = {0};    for(int i = 1; i <= n; ++i)        for(int j = 1; j <= m; ++j)            nex[(m-j)*n+i] = ex[(i-1)*m+j];    for(int i = 1; i <= n*m; ++i) ex[i] = nex[i];    swap(n, m);}inline void shift_down(){    int nex[MAXN*MAXM] = {0};    for(int i = 1; i <= n; ++i)        for(int j = 1; j <= m; ++j)            nex[(i%n)*m+j] = ex[(i-1)*m+j];    for(int i = 1; i <= n*m; ++i) ex[i] = nex[i];}inline void shift_right(){    int nex[MAXN*MAXM] = {0};       for(int i = 1; i <= n; ++i)        for(int j = 1; j <= m; ++j)            nex[(i-1)*m+j%m+1] = ex[(i-1)*m+j];    for(int i = 1; i <= n*m; ++i) ex[i] = nex[i];}inline void work(){    pow2[0].a[0] = pow2[0].a[1] = 1;    for(int i = 1; i <= n*m; ++i)    {        bigNum tmp = pow2[i-1];        tmp += pow2[i-1];        pow2[i] = tmp;    }    for(int i = 1; i <= n; ++i)    {        for(int j = 1; j <= m; ++j)        {            ans += pow2[calc()];            rotate();            if(check_square) ans += pow2[calc()];            rotate();            ans += pow2[calc()];            rotate();            if(check_square) ans += pow2[calc()];               rotate();            shift_right();        }        shift_down();    }    ans /= G;}inline void print(){    ans.print();    puts("");   }int main(){    init();    work();    print();    return 0;}